گرانش  

 

قانون گرانش نیوتون

در سال 1665 میلادی آیزاک نیوتون نشان داد که نیرویی که ماه در مدارش به دور زمین نگه می دارد همان نیرویی است که باعث افتادن سیب از درخت می شود. نیوتون دریافته بود که نه تنها زمین ماه و سیب را به طرف خود می کشد، بلکه هر جسم در جهان اجسام دیگر را به طرف خود می کشد. این تمایل برای حرکت اجسام به طرف یکدیگر گرانش نامیده می شود.

نیوتون برای این نیرو قانون پیشنهاد کرد که به قانون گرانش نیوتون معروف است: هر ذره ای، ذره ی دیگر را با یک نیروی گرانشی جذب می کند که بزرگی آن برابر است با:

(1-13)                                                            

 

که در آن m1 وm2 جرم ذرات، r فاصله ی بین ذرات و G ثابت گرانش است و مقدار آن برابر است با:

(2-13)                            

توجه داشته باشید که نیروی گرانش در راستای خط واصل بین دو ذره عمل می کند و جهتش به سمت ذره دوم است بنابراین نیروی گرانش یک نیروی جاذبه است، شکل13-1.

برای حالت برداری نیروی گرانش، اگر r محوری باشد که به صورت شعاعی از ذره m1 به طرف ذره m2 امتداد داشته باشد، ما می توانیم بردار نیرو را با استفاده از بردار یکه (برداری بدون بعد و بزرگی 1) که مبدا آن ذره ی 1 و در راستای r است شکل، به صورت زیر تعریف کنیم:

(3-13)                                                          

توجه داشته باشید که بزرگی نیروی گرانشی وارد شده به ذره 2 برابر است با بزرگی نیروی گرانش وارد شده به ذره ی 1 اما این دو نیرو در خلاف جهت یکدیگر اند و این قانون برای دو ذره ی نقطه ای است. برای محاسبه نیروی گرانشی بین دو جسم غیر نقطه ای باید از روش انتگرال گیری استفاده کنیم. اما برای اجسامی که فاصله ی میان آن ها خیلی بزرگتر از ابعاد آن ها باشد و همچنین اجسامی با توزیع متقارن کروی (در این صورت می توان فرض کرد همه ی جرم کره در مرکز آن قرار دارد) می توان از این معادله استفاده کرد.

 

شکل 13-1، (a)  ذره ی 1 که در فاصله ی r از ذره ی دوم قرار دارد به طرف آن کشیده می شود. (b) نیرو در راستای خط واصل دو ذره و جاذبه است. (c) بردار یکه r. 

گرانش و اصل برهم نهی

هنگامی که چند ذره با هم برهمکنش داشته باشند، نیروی گرانش خالص وارد شده به یکی از آن ها با استفاده از اصل برهم نهی محاسبه می شود. برای n ذره که با هم برهمکنش دارند ما می توانیم اصل برهم نهی را برای نیروی گرانشی وارد شده به ذره 1 به صورت زیر بنویسیم:

(4-13)                                           

(5-13)                                                            

که در آن برای مثال F13 نیروی وارد شده به ذره ی 1 از طرف ذره ی 3 است. برای یک جسم گسترده، اگر این جسم را به اجزائی به جرم dm تقسیم کنیم و dF نیروی وارد شده از طرف dm به ذره باشد، با استفاده از روش انتگرال گیری خواهیم داشت:

(6-13)                                                                

گرانش در نزدیکی سطح زمین

اجازه بدهید فرض کنیم زمین کره ای یکنواخت به جرم M است. بزرگی نیروی گرانشی وارد شده به ذره ای به جرم m که بیرون از زمین و در فاصله ی r از مرکز آن قرار دارد برابر است با:

(7-13)                                                                

اگر ذره رها شود، در اثر نیروی گرانشی با شتابی که شتاب گرانشی ag نامیده می شود، به طرف مرکز زمین سقوط می کند. با استفاده از قانون دوم نیوتون خواهیم داشت:

(8-13)                                                                 

حالا با جایگزین کردن مقدار نیرو از قانون گرانش نیوتون، بزرگی شتاب برابر است با:

(9-13)                                                                 

اگر ما فرض کنیم زمین یک چارچوب مرجع لخت است (از چرخش آن چشم پوشی کنیم). شتاب سقو آزاد g با شتاب گرانشی ag ذرات یکسان خواهند بود. ما فرض می کنیم که در هر نقطه روی سطح زمین، g مقدار ثابتی برابر با 9/8 متر بر مجذور ثانیه دارد. اما مقدار g اندازه گیری شده با مقدار ag محاسبه شده از فرمول در نقاط مختلف با هم متفاوت است، که دلیل آن سه چیز است:

1. جرم زمین به طور یکنواخت توزیع نشده است. چگالی زمین با دور شدن از مرکز زمین تغییر می کند و همچنین در ناحیه ی نزدیک              به سطح زمین نیز چگالی از ناحیه ای به ناحیه ی دیگر تغییر می کند. (شکل 13-3)

2. زمین یک کره نیست. تقریبا یک بیضی است که در استوا برامده و در  قطب ها تخت تر است.

3. زمین می چرخد. محور دوران زمین از قطب شمال و جنوب می گذرد و هر جسمی که در سطح زمین قرار دارد (بجز در قطب ها) در           یک مسیر دایره ای حول محور دوران می چرخد و یک شتاب مرکز گرا به سمت مرکز دایره دارد.

برای محاسبه تفاوت بین g و ag صندوق چوبی به جرم m را درنظر می گیریم که روی یک ترازو در خط استوا قرار دارد شکل 13-4. دو نیرو به صندوق چوبی وارد می شود، که هر دو در راستای محور شعاعی r است که از مرکز زمین می گذرد. یکی نیروی عمودی سطح FN و دیگری نیروی گرانش mag، چون زمین در حال دوران است شتاب مرکز گرایی به بزرگی ar2r به جسم وارد می شود. بنابراین با توجه به قانون دوم نیوتون در راستای محور r می توانیم بنویسیم:

(10-13)                                                

بزرگی FN برابر با وزن جعبه mg است، بنابراین خواهیم داشت:

(11-13)                                                

که به ما می گوید:

(12-13)                                                        

(شتاب مرکز گرا) - (شتاب گرانشی) = (شتاب سقوط آزاد)

گرانش درون زمین

 نیروی گرانشی خالص وارد شده به ذره ای که در داخل یک پوسته یکنواخت از ماده قرار دارد صفر است. این بدان معنی است که اگر ذره ای درون یک کره ی یکنواخت به فاصله ی r از مرکز آن قرار داشته باشد. نیروی گرانشی وارد شده به آن فقط به جرم قرار Mins گرفته در کره ای به شعاع r بستگی دارد. این جرم برابر است با:

 (13-13)                                                    

که در آن ρ چگالی کره است.

انرژی پتانسیل گرانشی

در قسمت های قبل درباره ی انرژی پتانسیل بین زمین و یک ذره بحث کردیم. در اینجا به بررسی انرژی پتانسیل گرانشی U دو ذره به جرم های m و Mکه در فاصله ی r از یکدیگر قرار دارند می پردازیم. برای این موضوع ما یک مرجع انتخاب می کنیم که در آن انرژی پتانسیل گرانشی برابر با صفر شود. از آنجایی که با افزایش فاصله ی بین دو ذره انرژی پتانسیل کاهش می یابد ما می توانیم فرض کنیم که در r=∞ انرژی پتانسیل گرانشی صفر است و انرژی پتانسیل گرانشی یک سیستم دو ذره ای برابر است با:

(14-13)                                                        

توجه داشته باشید که با افزایش نامحدود r انرژی پتانسیل به سمت صفر میل می کندو برای هر مقدار محدود r انرژی پتانسیل منفی است.

اگر سیستم ما از چند ذره تشکیل شده باشد، ما باید انرژی پتانسیل گرانشی هر جفت از ذرات را درنظر بگیریم. برای مثال برای یک سیستم سه ذره ای (شکل 13-5) انرژی پتانسیل گرانشی برابر است با:

(15-13)                                          

 اثبات

برای اثبات معادله مربوط به انرژی پتانسیل گرانشی، توپی را در نظر بگیرید که به طرف بالا پرتاب شده است شکل 13-6. ما می خواهیم انرژی پتانسیل گرانشی توپ را در نقطه ی P در فاصله ی R از مرکز زمین بدست آوریم. کار انجام شده روی توپ توسط نیروی گرانشی، برای اینکه توپ را از نقطه ی P به فاصله ی بینهایت از مرکز زمین برده شود، برابر است با:

 (16-13)                                                      

داخل انتگرال حاصل ضرب اسکالر (نقطه ای) نیرو و بردار جابه جایی است. بنابراین با استفاده از تعریف ضرب برداری می توانیم بنویسیم:

(17-13)                                                 

از آنجایی که زاویه بین بردار نیرو و بردارجابه جایی 180 درجه است و با استفاده از تعریف نیروی گرانشی خواهیم داشت:

(18-13)                                                

که در آن M جرم زمین و m جرم توپ است. با قرار دادن این معادله در داخل انتگرال و انتگرال گیری خواهیم داشت:

(19-13)                        

چون منفی کار انجام شده برابر است با تغییر انرژی پتانسیل سیستم، خواهیم داشت:

(20-13)                                                      

و چون انرژی پتانسیل گرانشی در فاصله ی بینهایت صفر است، انرژی پتانسیل گرانشی در نقطه ی P برابر است با:

(21-13)                                                    

استقلال از مسیر

در شکل 13-7 یک توپ را از نقطه A تا نقطه ی G روی مسیر مشخص شده جابه جا می کنیم. کار انجام شده در مسیرهای B به C، D به E و F به G صفر است چون در این سه مسیر، نیرو بر جهت حرکت عمود است. بنابراین کار انجام شده برابر است با جمع کارهای انجام شده در سه مسیر شعاعی. حال اگر مسیر های قوسی حذف شود و توپ به طور مستقیم در یک مسیر شعاعی از A به G برود باز کار انجام شده برابر است با کار انجام شده در حالت قبلی بنابراین کار انجام شده توسط نیروی گرانش به مسیر حرکت بستگی ندارد. چون نیروی گرانش نیرویی پایسته است کار انجام شده توسط آن به مسیر حرکت بستگی ندارد و فقط به مسیر نقاط اولیه و نهایی بستگی دارد و چون تغییر انرژی پتانسیل گرانشی برابر است با منفی کار انجام شده:

(22-13)                                                

تغییرات انرژی پتانسیل نیز از مسیر حرکت مستقل است.

انرژی پتانسیل و نیرو

با داشتن تابع انرژی پتانسیل گرانشی، ما می توانیم با دیفرانسیل گیری نسبت به r از تابع انرژی پتانسیل، نیروی گرانشی را بدست آوریم. بنابراین:

(23-13)                                     

علامت منفی خاطر نشان می کند که نیرو، جاذبه است.

سرعت گریز (فرار)       

اگر شما یک پرتابه را به طرف بالا پرتاب کنید معمولا بعد از گذشت مدتی سرعتش کم شده متوقف می شود و به زمین باز می گردد. به هرحال یک سرعت حداقل وجود دارد که اگر پرتابه با آن سرعت به بالا پرتاب شود، دیگر به زمین باز نخواهد گشت و به حرکت خود به بینهایت ادامه می دهد. این کمینه ی سرعت اولیه، سرعت گریز (از زمین)  نامیده می شود.

پرتابه ای به جرم m را درنظر بگیرید که سطح یک سیاره را با سرعت اولیه ی v ترک می کند. پرتابه دارای انرژی جنبشی K و انرژی پتانسیل گرانشی U است. وقتی پرتابه به به بینهایت می رسد، متوقف می شود انرژی جنبشی آن صفر می شود، همچنین در بینهایت انرژی پتانسیل گرانشی نیز صفر است. بنابراین انرژی کل در بینهایت صفر است و با استفاده از اصل پایستگی انرژی می توانیم بنویسیم:

(24-13)                                       

با حل این معادله برای v، سرعت گریز برابر است با:

(25-13)                                                         

که در آن M جرم سیاره است. توجه داشته باشید که v به جهت پرتاب پرتابه از سیاره بستگی ندارد.

قوانین کپلر

در این بخش به بررسی سه قانون کپلر می پردازیم. اگر چه این قوانین برای گردش سیارت به دور خورشید به کار برده شده ولی برای حرکت ماه یا ماهواره ها به دور زمین یا هر جسم سنگین دیگری برقرار است.

1. قانون مدارها: هر سیاره در مدار بیضی شکل که خورشید در یکی از کانون های آن قرار دارد به دور خورشید می گردد. در این مدار بیضی نزدیک ترین فاصله به خورشید را حضیض Rp (خورشیدی) و دورترین فاصله از خورشید را اوج Ra (خورشیدی) می نامند شکل 13-8.

2. قانون مساحت ها: خط واصل خورشید و سیاره، در زمان های مساوی مصافت های مساوی را می روید.

این قانون به ما می گوید که سیاره وقتی به خورشید نزدیک می شود سرعتش زیاد و وقتی از خورشید دور می شود سرعتش کم می شود. پس اندازه ی سرعت سیاره در مدارش ثابت نیست و در حضیض بیشترین و در اوج کمترین سرعت را دارد. با توجه به شکل مشاهده می کنیم که در بازه ی زمانی Δt مساحت جاروب شده توسط سیار ΔA تقریبا برابر با مساحت مثلثی به ارتفاع r و قاعده ی rΔθ است. بنابراین آهنگ لحظه ای تغییر مساحت برابر است با:

(26-13)                                                 

که در آن ω سرعت زاویه ای دوران خط واصل بین سیاره و خورشید است. شکل نشان می دهد که بردار اندازه حرکت خطی p دو مولفه دارد. با توجه به معادله ی (L=rp)، بزرگی اندازه حرکت زاویه ای سیاره ای به جرم m برابر است با:

(27-13)                                 

با استفاده از این معادله آهنگ تغییر مساحت برابر است با:

(28-13)                                                          

طبق قانون دوم کپلر dA/dt  ثابت است، بنابراین با توجه به معادله ی بالا اندازه حرکت زاویه ای نیز ثابت. قانون دوم کپلر در واقع بیان کننده ی قانون پایستگی اندازه حرکت زاویه ای است.

                             

شکل 13-9 ، (a) در بازه زمانیΔt سیاره مساحت نارجی را جاروب می کند. (b) مولفه های بردار اندازه حرکت خطی.

3. قانون دوره ی تناوب: مربع دوره تناوب سیاره متناسب با مکعب فاصله ی متوسط آن از خورشید است.

برای درک این قانون یک مدار دایره ای به شعاع r را درنظر بگیرید شکل. با توجه به قانون دوم نیوتن، برای چرخش سیاره خواهیم داشت:

(29-13)                                                       

جمله داخل پرانتز دوم بیانگر شتاب مرکز گرای سیاره است. با جایگزینی ω با 2π/Tخواهیم داشت:

(30-13)                                                           

مدارها و انرژی

ماهواره ای را درنظر بگیرید که در یک مسیر بیضوی به دور زمین می چرخد. سرعت ماهواره که تعیین کننده ی انرژی جنبشی و فاصله ی ماهواره تا مرکز زمین که تعیین کننده ی انرژی پتانسیل گرانشی آن است متناوبا تغییر می کند. اما انرژی مکانیکی ماهواره ثابت باقی می ماند. انرژی پتانسیل گرانشی سیستم عبارت است از:

(31-13)                                                           

که r فاصله ی ماهواره از مرکز زمین، و M و m به ترتیب جرم زمین و ماهواره است. اگر مدار را دایره ای درنظر بگیریم با استفاده از قانون دوم نیوتون خواهیم داشت:

(32-13)                                                       

که در آن v2/r شتاب مرکز گرا ماهواره است، و با پیدا کردن سرعت از معادله ی بالا، انرژی جنبشی به صورت زیر محاسبه می شود:

(33-13)                                                     

که به ما می گوید برای یک مدار دایره ای:

(34-13)                                                           

و انرژی مکانیکی کل برابر است با:

(35-13)                                         

(36-13)                                                       

(37-13)                                                        

بنابراین انرژی مکانیکی کل یک ماهواره در مدار دایره ای برابر با منفی انرژی جنبشی آن است. برای یک ماهواره در یک مدار بیضوی با نصف قطر بزرگ a، انرژی مکانیکی برابر است با:

(38-18)                                                      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 13-2، سیب زمین را به بالا می کشد و زمین نیز سیب را به طرف پایین می کشد.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 13-3، تغییرات چگالی زمین با فاصله از مرکز زمین.

 شکل 13-4، (a) صندوق چوبی روی یک ترازو قرار گرفته است و دو نیرو به آن وارد می شود. (b) نمودار نیروهای وارد بر جسم.

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 13- 5، یک سیستم متشکل از سه ذره.

 

 

 

 

 

شکل 13- 6،نیرو ی وارد شده به توپ بیسبال که به بالا پرتاب شده است.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 13-7، (a) در نزدیکی سطح زمین یک توپ بیسبال از نقطه ی A در مسیر نشان داده شده به نقطه ی G می رود.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 13-8، سیاره ای به جرم m در یک مدار بیضوی که خورشید در یکی از کانون های آن قرار دارد حرکت می کند.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 13-10،یک سیاره به جرم m در یک مسیر دایره ای به شعاع r حول خورشید حرکت می کند.

 

 

 

 

 

 

شکل 13-11، تغییرات انرژی جنبشی، انرژی پتانسیل و انرژی مکانیکی برای یک ماهواره در یک مدار دایره ای.