aa  aaaaa  

 

    بردارها  

 

بردارها و اسکالرها

یک ذره که در طول یک خط راست حرکت می کند فقط می تواند در دو جهت حرکت کند. ما می توانیم حرکت آن را در یک جهت مثبت و در جهت دیگر منفی درنظر بگیریم. برای ذراتی که در سه بعد حرکت می کنند، یک علامت منفی و یک علامت مثبت برای تعیین جهت حرکت کافی نیست. بنابراین باید از بردار استفاده کنیم.

یک بردار دارای جهت و بزرگی است، و از قواعد خاصی پیروی می کند. یک کمیت برداری، کمیتی است که جهت و بزرگی دارد و بنابراین، می تواند با استفاده از بردار نمایش داده شود. برخی کمیت های برداری در فیزیک عبارت اند از؛ جابه جایی، سرعت و شتاب.

همه ی کمیت های فیزیکی شامل جهت نیستند. برای مثال دما، فشار، انرژی، جرم، و زمان از جمله ی این کمیت ها هستند. ما این کمیت ها را اسکالر می نامیم. قواعد حاکم بر این کمیت ها از همان جبر معمولی پیروی می کند. 

ساده ترین کمیت برداری جابه جایی یا تغییر مکان است. برداری که جابه جایی را نشان می دهد، بردار جابه جایی نامیده می شود. اگر ذره ایاز مکان A به مکان B جابه جا شود (شکل )، بردار جابه جایی آن با یک پیکان که از A به B کشیده شده است نشان داده می شود. در شکل3-1 (a)، سه بردار نشان داده شده از نظر بزرگی و جهت یکسان هستند. بنابراین بردار نشان داده شده نمایشگر تغییر مکان یکسانی برای ذره است. بردار جابه جایی چیزی درباره ی مسیر حرکت به ما نمی گوید. برای مثال شکل3-1 (b) ، مسیر های متفاوتی را نشان می دهد که بردار جابه جایی آن یکی است.

 

جمع بردارها

فرض کنید که در نمودار برداری شکل 3-2، یک ذره از A به B و سپس ازB به C حرکت می کند. ما می توانیم این جابه جایی را با دو بردار جابه جایی AB و BC نشان دهیم. جابه جایی خالص ناشی از این دو بردار، یک جابه جایی از A به C است. ما AC را بردار حاصل جمع یا بردار برآیند بردارهای AB و BC می نامیم. یک روش برای نشان دادن بردارها، استفاده از حروف و قرار دادن یک پیکان بالای سر آن هاست (شکل3-2 (b)). هنگامی که ما فقط می خواهیم به بزرگی بردارها اشاره کنیم، فقط حروف (بدون پیکان بالای آن ها) را به کار می بریم.

ما می توانیم روابط بین سه بردار شکل 3-2 (b)، را به صورت معادله ی برداری زیر بنویسیم:

(1-3)                                                                         

 شکل 3-2، روش جمع دو بردار را به صورت هندسی پیشنهاد می کند. (1) بردار a را با همان بزرگی و جهت ترسیم کنید. (2) بردار b را به گونه ای که دم آن در راس بردار a باشد رسم کنید. (3) بردار حاصل جمع s برداری است که دم a را به راس b متصل می کند.

جمع بردای شرح داده شده به روش بالا، دو ویژگی مهم دارد. اول اینکه، ترتیب اضافه کردن بردارها اهمیتی ندارد. (شکل3-3). به عبارت دیگر:

(2-3)                                                                     

 

دوم اینکه، وقتی بیش از دو بردار وجود داشته باشد، می توانیم به هر ترتیبی آن ها را با هم جمع کنیم.بنابراین برای بردارهای شکل 3-4، در روش اول ما می توانیم ابتدا دو بردار a و b را با هم جمع کنیم و سپس حاصل جمع را با بردار c جمع کنیم. همچنین در روش دوم ما می توانیم ابتدا بردار های b و c را با هم جمع کنیم، سپس حاصل جمع این دو بردار را با بردار a جمع کنیم. با توجه به شکل مشاهده می کنیم که در هر دو روش نتیجه ی یکسانی حاصل می شود:

(3-3)                                                          

 

 شکل 3-4، سه بردار نشان داده شده به هر روشی می توانند با هم جمع شوند. به معادله ی 3-3 نگاه کنید.

 

بردار b برداری است با بزرگی برابر با بردار b اما در جهت مخالف آن (شکل3-5). با جمع کردن دو بردار نشان داده شده در شکل 3-5، خواهیم داشت:

(4-3)                                                                      

بنابراین ما می توانیم از این ویژگی برای تعریف تفاضل (تفریق) بردارها استفاده کنیم:

(5-3)                                                             

شکل3-6، نمایش هندسی این تفاضل را نشان می دهد. همانند جبر معمولی، ما می توانیم با تغییر علامت بردارها، آن ها را از یک ظرف تساوی به طرف دیگر جابه جا کنیم. برای مثال ما می توانیم معادله ی 3-5 را به صورت زیر بازچینی کنیم:

(6-3)                                                         

یادآوری می کنیم که، قواعد جمع و تفاضل بردارها فقط برای بردارهای هم نوع برقرار است. به عبارت دیگر ما می توانیم این قواعد را فقط برای بردارهای هم نوع به کار ببریم. برای مثال، ما می توانیم دو بردار جابه جایی یا دو بردار سرعت را با هم جمع کنیم. اما نمی توانیم یک بردار جابه جایی را با بردار سرعت جمع کنیم.

 

مولفه های بردارها

جمع بردارها به روش هندسی می تواند خسته کننده باشد. یک روش تمیز و آسانتر شامل جبری وجود دارد، اما در این روش ما نیاز داریم که بردار را در یک دستگاه مختصات راست گوشه قرار دهیم. محورهای x وy همانند شکل 3-7، معمولا در یک صفحه ی کشیده می شود. و محور z از مبدا مستقیم به طرف خارج صفحه قرار می گیرد، و در حالت دو بعدی از آن چشم پوشی می کنیم.

یک مولفه از یک بردار، تصویر آن بردار روی یک محور است. برای مثال در شکل3-7، ax مولفه ی بردار a روی (در راستای) محور x و ay مولفه آن روی محور y است.برای پیدا کردن تصویر یک بردار روی یک محور، همانند شکل3-7، ما خطوطی از دو انتهای بردار، روی محور مورد نظر عمود می کنیم. تصویر بردار روی محور x مولفه ی x بردار و تصویر بردارروی محور y مولفه ی y بردار نامیده می شود. این رویه برای پیدا کردن مولفه های یک بردار تجزیه ی بردار نامیده می شود.

در شکل3- 7 هر دو مولفه ی ax و ay مثبت هستند، چون بردار a در جهت مثبت هر دو محور کشیده شده است، اگر ما a را معکوس کنیم هر دو مولفه ی آن منفی خواهند شد. تجزیه ی بردار b در شکل3-8، مولفه ی bx مثبت و by منفی را نتیجه می دهد. به طور کلی یک بردار سه مولفه دارد، بنابراین در مورد شکل3-7، مولفه ی z بردار صفر درنظر گرفته می شود.

ما می توانیم مولفه های بردار a را به روش هندسی با استفاده از مثلث راست گوشه پیدا کنیم:

(7-3)                                                   

در این جا θ زاویه ی بین بردار a و جهت مثبت محور x و a بزرگی بردار a است. از آنجایی که ما می توانی یک بردار را به مولفه هایش تجزیه کنیم، مولفه های آن می توانند به جای آن مورد استفاده قرار قیرد. برای مثال بردار a در شکل3-7 (c)، کاملا توسط a و θ تعیین می شود. و اگر مولفه های یک بردار را داشته باشیم بزرگی a و زاویه ی θ توسط معادلات زیر داده می شود:

(8-3)                                                       

 

شکل 3-7، (a و b) نمایش مولفه های y و x بردار a. و (c) مولفه ها و بردار یک مثلث راست گوشه تشکیل می دهند.

 

بردارهای یکه

یک بردار یکه برداری است با بزرگی دقیقا برابر با 1 و یک جهت مشخص. همچنین بردار یکه بدون بعد و یکاست. بردارهای یکه در جهت مثبت محورهای x، y و  zدر شکل3-9 نشان داده شده است. آرایش محورها در شکل3-9، دستگاه مختصات راستگرد (دست راستی) نامیده می شود. 

بردارهای یکه، برای  بیان بردارها بسیار مفید هستند. برای مثال، ما می توانیم بردارهای a و b در شکل های 3- 10 (a) و 3-10 (b) را به شکل زیر بیان کنیم:

(9-3)                                                                     

و:

(10-3)                                                                    

این دو معادله در شکل 3-10 نشان داده شده است. کمیت های axi وayj مولفه های برداریa نامیده می شوند و کمیت های ax و ay مولفه های اسکالر بردار a نامیده می شوند.

 

جمع بردارها با استفاده از مولفه ها

با ترسم، ما می توانیم برداها را به طور هندسی با هم جمع کنیم. در روش دیگر برای جمع بردارها از مولفه های بردار استفاده می کنیم. برای شروع، عبارت زیر را درنظر بگیرید:

(11-3)                                                                       

که می گوید بردار r برابر است با بردار (a+b). بنابراین هر مولفه از بردار r باید با مولفه ی متناظرش از بردار (a+b) برابر باشد:

(12-3)                                                                    

(13-3)                                                                    

(14-3)                                                                    

به عبارت دیگر دو بردار برابراند اگرمولفه های متناظرشان با هم برابر باشد. معادلات 3- 11تا 3- 14به ما می گویند که برای جمع دو بردار a و b، ما باید (1) برادها را به مولفه هایشان تجزیه کنیم، (2) این مولفه های اسکالر را محور به محور با هم ترکیب کنیم، تا مولفه های بردار حاصل جمع را بدست آوریم، و (3) مولفه های های بردار حاصل جمع را با هم ترکیب کنیم تا خود بردار r بدست آوریم.

رویه ی جمع بردارها با استفاده از مولفه ها، همچنین می تواند برای تفاضل بردارها به کار رود. بنابراین برای تفاضل برداری:

می توانیم بنویسیم:

(15-3)                                      

این جا: 

(16-3)                                                             

 

ضرب بردارها

سه راه برای ضرب بردارها وجود دارد، که دقیقا شبیه به عمل ضرب در جبر معمولی نیست.

ضرب یک اسکالر در بردار

اگر ما یک اسکالر s را در یک بردار  a ضرب کنیم، یک بردار جدید خواهیم داشت. بزرگی آن برابر است با حاصل ضرب بزرگی a و قدر مطلق s. جهت آن در جهت بردار a است اگر s مثبت باشد و اگر s منفی باشد بردار حاصل در خلاف جهت بردار a خواهد بود. برای تقسیم بردار a بر s ، ما بردار a را در 1/s ضرب می کنیم.

ضرب بردار در بردار

دو روش برای ضرب ی بردار در بردار وجود دارد: در یک روش یک اسکالر تولید می شود (که ضرب اسکالر نامیده می شود)، و در دیگری یک بردار جدید حاصل می شود (که ضرب برداری نامیده می شود).

ضرب اسکالر

ضرب اسکالر بردارهای a و b که در شکل3-11 نشان داده است و به صورت زیر تعریف می شود:

(17-3)                                                                  

که در آن a بزرگی بردار a ، b بزرگی بردار b و ϕ زاویه ی بین دو بردار است. در واقع بین دو بردار دو زاویه وجود دارد؛ ϕ و (ϕ-360)

توجه داشته باشید که فقط اسکالر ها در سمت راست معادله ی 3-17 وجود دارند، بنابراین عبارت سمت چپ معادله ی3-17 بیانگر یک کمیت اسکالر است. چون در نمایش a.b از نقطه استفاده شده است این ضرب، ضرب نقطه ای نیز نامیده می شود.

ضرب نقطه ای می تواند همانند ی ضرب دو کمیت درنظر گرفته شود؛ (1) بزرگی یکی از بردارها و (2) مولفه ی اسکالر بردار دوم در راستای بردار اول. برای مثال در شکل 3-11 (b) ، مولفه ی اسکالر بردار a در راستای بردار b برابر با a cos ϕ است. و مشابه آن مولفه ی اسکالر بردار b در راستای a برابر است با b cos ϕ . به عبارت دیگر می توانیم بنویسیم:

 (18-3)                                                

"اگر زاویه بین دو بردار  باشد، مولفه ی یکی از بردارها در راستای بردار دیگر بیشینه است، و بنابراین حاصل ضرب اسکالر آن ها نیز بیشینه خواهد بود. اگر زاویه ی بین دو بردار 90˚ باشد، مولفه ی یکی از بردارها در راستای بردار دیگر صفر است، و بنابراین حاصل ضرب اسکالر آن ها نیز صفر خواهد بود. است."

با به کارگیری اصل جابه جا پذیری برای ضرب اسکالر می توانیم بنویسیم:

(19-3)                                                                      

ما می توانیم با استفاده از مولفه ها، حاصل ضرب نقطه ای را به شکل زیر بنویسیم:

(20-3)                                          

که با استفاده از قانون توزیع پذیری؛ هر مولفه برداری از بردار اول با هر مولفه ی برداری از بردار دوم ضرب اسکالر می شود. بنابراین با انجام این کار خواهیم داشت:

(21-3)                                                     

 ضرب برداری

ضرب برداری بردارهای a و b که با ab نشان داده می شود یک بردار سوم c تولید می کند که بزرگی آن برابر است با:

(22-3)                                                                     

در این جا ϕ زاویه ی بین دو بردار است. (ما باید کوچکترین زاویه ی بین برداها را درنظر بگیریم چون sin ϕ وsin (360˚–ϕ) علامت جبری متفاوتی دارند.

"اگر بردارهای a و b موازی یا پاد موازی باشند، حاصل ضرب برداری آن ها صفر است. بزرگی ab، هنگامی بیشینه است که دو بردار a و b برهم عمود باشند."

جهت بردار c عمود بر صفحه ای است که دو بردار a و b در آن قرار دارند. شکل 3-12(a) چگونگی تعیین جهت بردار c را  که به قاعده ی دست راست مشهور است نشان می دهد. بردارهای a و b را دم به دم قرار می دهیم. چهار انگشت دست راست خود را در جهت بردار a قرار می دهیم به شکلی که جهت خم شدن آن ها به سمت بردار b باشد (a به سمت b جاروب شود). در این حالت شست دست راست در حالت کشیده جهت بردار c را نشان می دهد.

توجه داشته باشید که ترتیب بردارها، در ضرب برداری مهم است. در شکل 3-12 (b)، ما جهت بردار cba را تعیین تعیین کرده ایم. در این شکل جهت شست در خلاف جهت قبلی است. و بنابراین باید داشته باشیم:

(23-3)                                                               

به عبارت دیگر، اصل جابه جا پذیری برای ضرب برداری به کار برده نمی شود. با استفاده از مولفه ی های بردارها می توانیم بنویسیم:

(24-3)                                      

که با استفاده از قانون توزیع پذیری؛ هر مولفه برداری از بردار اول با هر مولفه ی برداری از بردار دوم ضرب برداری می شود. ضرب برداری بردارهای یکه در پیوست آمده است. برای مثال، در بسط معادله ی 3- داریم:

(25-3)                                                     

چون دو بردار یکه با هم موازی و بنابراین حاصل ضرب برداری آن ها صفر است. همچنین داریم:

(26-3)                                               

بنابراین با بسط معادله ی 3-24 می توانیم نشان دهیم که:

(27-3)                       

برای اینکه نشان دهیم یک دستگاه مختصات xyz ، دستگاه مختصات راستگرد هست یا نه، ما می توانیم از قاعده ی دست راست برای ضرب برداری ij=k استفاده می کنیم. اگر چهار انگشت دست راست در جهت مثبت محور x به طرف مثبت محور y خم شود و جهت شست دست راست در حالت کشیده در جهت مثبت محور z قرار گیرد. دستگاه مختصات ما راست گرد است.

شکل 3-12، (a) ضرب برداریab و (b) ضرب برداری  ba

 

     

شکل 3-1، (a) هر سه بردار  بزرگی و جهت یکسان دارند. (b) هر سه مسیر توسط یک بردار جابه جایی نشان داده شده است.

 

شکل 3-2، (a) بردار AC جمع دو بردار AB و BC است. (b) نمایش همان بردارها با نماد جدید.

 

 

شکل 3-3، ترتیب در جمع برداری اهمیتی ندارد.

 

 

 

 

 

 

 شکل 3-5، نمایش بردار های b و b- .

 

 

 شکل 3-6، نمایش هندسی تفاضل بردارها

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 3-8، مولفه های بردار b.

 

 

 شکل 3-9، بردارهای یکه در دستگاه مختصات راستگرد.

 

 

 شکل 3-10، (a) مولفه های بردار a و (b) مولفه های بردار b.

 

 

شکل 3-11، (a) بردارهای a و b.و زاویه ی بین آن ها (b) هر دو بردار روی دیگری مولفه دارد.