مرکز جرم و اندازه حرکت خطی  

 

مرکز جرم

مرکز جرم یک سیستم ذرات نقطه ای است که گویی 1- تمام جرم سیستم در آن نقطه متمرکز شده و 2- تمام نیروهای خارجی به آن نقطه وارد می شود. بنابراین برای بررسی حرکت انتقالی سیستم می توانیم آن را به صورت ذره ای به جرم کل سیستم که در مرکز جرم آن مستقر شده است درنظر بگیریم. (شکل9-1).

سیستم ذرات

شکل 9-2 (a)، دو ذره با جرم های m1 و m2 را نشان می دهد، که ذره ی 1 در مبدا دستگاه مختصات و ذره ی 2 در فاصله ی d از آن قرار دارد. ما مرکز جرم xcom این سیستم دو ذره ای را به صورت زیر تعریف می کنیم:

(1-9)                                                                  

 در شکل 9-2 (b)، همان دو ذره به جرم های m1 و m2 به ترتیب در مکان های x1 و x2 قرار دارند. در این حالت مکان مرکز جرم سیستم دو ذره ای را به شکل زیر تعریف می کنیم:

(2-9)                                                                

یا:

(3-9)                                                                

که در این جا M جرم کل سیستم دو ذره ای است. با توجه به معادله ی بالا برای سیستمی با n ذره، مرکز جرم سیستم عبارت است از:

(4-9)                                 

که در آن M جرم کل سیستم است. به همین ترتیب برای ذراتی که در سه بعد توزیع شده اند داریم:

(5-9)                         

همچنین ما می توانیم با استفاده از زبان برداری مرکز جرم را تعریف کنیم، اگر مکان ذره به صورت زیر داده شده باشد:

(6-9)                                                                 

مرکز جرم به صورت زیر تعریف می شود:

(7-9)                                                       

 

بنابراین می توانیم سه معادله ی اسکالر 9-4 را با یک تک معادله ی برداری جایگزین کنیم:

(8-9)                                                                    

                                  

شکل 9-2، مرکز جرم دو ذره به جرم هایm1 و  m2 که در در فاصله ی d از یکدیگر قرار دارند.

 

اجسام جامد (صلب)

اجسام جامد مثل توپ بیسبال، در واقع سیستم های پیوسته ای هستند که از ذرات بسیار زیادی تشکیل شده اند. اگر جرم یک عنصر خیلی کوچک (ذره) از جسم را dm در نظر بگیریم، مرکز جرم جسم جامد برابر است با:

(9-9)                           

که در این جا M جرم جسم است. برای اجسام یکنواختی که چگالی آن ها یکنواخت است داریم:

(10-9)                                                                     

در اینجا dV حجم اشغال شده توسط عنصر dm است. بنابراین با استفاده از معادله ی 9-10، مرکز جرم جسم برابر است با:

(11-9)                           

بنابراین مرکز جرم اجسام یکنواختی که شکل هندسی منظمی داشته باشند همان مر کز هندسی آن هاست (مرکز جرم اجسام یکنواختی که محور تقارن داشته باشند حتما در نقطه ای روی محور تقارن جسم قرار دارد).

 

قانون دوم نیوتون برای سیستم ذرات

با توجه به معادله 9-8 می توانیم بنویسیم:

(12-9)                                           

که در آن M جرم کل سیستم و rcom بردار مکان مرکز جرم سیستم است. با دیفرانسیل گیری از معادله ی بالا خواهیم داشت:

(13-9)                                         

که در آن vi سرعت ذره ی i ام و vcom سرعت مرکز جرم سیستم است. با دیفرانسیل گیری مجدد از معادله بالا خواهیم داشت:

(14-9)                                        

که در آن ai شتاب ذره ی i ام و acom شتاب مرکز جرم سیستم است. با توجه به قانون دوم نیوتونmiai برابر است با نیروی برایند Fi وارد شده به ذره ی iام، یعنی:

(15-9)                                                    

 با توجه به معادله 9-15، می توان گفت اگر نیروی خالص خارجی Fnet به سیستم وارد شود، مرکز جرم جسم طوری شتاب می گیرد که انگار تک ذره ای (فرضی) به جرم M در مرکز جرم قرار گرفته است و برایند نیروهای خارجی در همین نقطه به آن اثر می کند:

(16-9)                                                                    

مولفه ی های معادله ی 9-16 در راستای سه محور مختصات برابر است با:

(17-9)                             

شکل9-3، موشکی را نشان می دهد که در مسیر نشان داده شده حرکت می کند. در یک نقطه ی از مسیر انفجاری رخ می دهد. اگر انفجار رخ نمی داد موشک مسیر نشان داده شده را طی می کرد. نیروهای حاصل از انفجار نیرو های درونی سیستم هستند؛ یعنی نروهایی که اجزاء سیستم به یکدیگر وارد می کنند. اگر از مقاومت هوا صرفنظر کنیم، نیروی خالص خارجی وارد شده به سیستم نیروی گرانشی است، چه انفجار رخ بدهد چه رخ ندهد.بنابراین با استفاده از معادله ی 9-16، نتیجه می گیریم که شتاب مرکز جرم تکه های حاصل از انفجار برابر g باقی خواهد ماند. و این به معنی این است که مرکز جرم تکه های حاصل از انفجار، همان مسیری را می پیماید که اگر موشک منفجر نشده بود می پیمایید.

 

اندازه حرکت (تکانه) خطی

اندازه حرکت خطی یک ذره به صورت حاصل ضرب جرم ذره در سرعت آن تعریف می شود:

(18-9)                                                                        

می بینیم که اندازه حرکت کمیتی برداری و جهت آن همان جهت سرعت است. یکای اندازه حزکت خطی در SI کیلوگرم متر بر ثانه است. قانون دوم نیوتون برحسب اندازه حرکت خطی به شکل زیر بیان می شود:

(19-9)                                                                      

یعنی نیروی خالص وارد بر یک ذره برابر است با آهنگ زمانی تغییر اندازه حرکت خطی آن ذره.

توجه داشته باشید که این کلی ترین شکل قانون دوم نیوتون است و در صورتی که جرم ثابت باشد خواهیم داشت:

(20-9)                                                 

 

اندازه حرکت خطی سیستم ذرات

سیستمی با n ذره را در نظر بگیرید که هر یک از ذرات جرم، سرعت و اندازه حرکت مربوط به خود را دارند. بردار اندازه حرکت خطی کل سیستم برابر با حاصل جمع تک تک بردارهای اندازه حرکت ذرات است یعنی:

(21-9)                        

بنابراین می توان گفت اندازه حرکت خطی سیستمی از ذرات برابر است با حاصل ضرب جرم کل سیستم در بردار سرعت مرکز جرم سیستم:

(22-9)                                                                      

با دیفرانسیل گیری نسبت به زمان از معادله 9-22، خواهیم داشت:

(23-9)                                                          

که می توان نتیجه گرفت قانون دوم نیوتون برای سیستم ذرات عبارت است از:

(24-9)                                                                        

 

برخورد و ضربه

اندازه حرکت خطی نمی تواند تغییر کند مگر اینکه نیروی خالص خارجی وارد بر ذره تغییر کند. در برخورد (یا ضربه)، اندازه ی نیروی خارجی بزرگ است و به طور ناگهانی اندازه حرکت خطی ذره را تغییر می دهد. به طور کلی برخوردها پیچیدگی فراوانی دارند ولی برای راحتی در این قسمت فقط به برخوردهای ساده، مثل برخورد یک ذره متحرک (پرتابه) با دیگر ذرات (هدف) می پردازیم.

تک برخورد

با توجه به شکل 9-4، اگر پرتابه یک چوب بیسبال و هدف ما توپ بیسبال باشد، نیروی F(t) وارد شده بر توپ در مدت زمان برخورد تغییر می کند و اندازه حرکت خطی توپ را تغییر می دهد. این تغییرات با استفاده از شکل کلی قانون دوم نیوتون به یکدیگر مربوط می شوند:

(25-9)                                                                    

بنابراین تغییر اندازه حرکت توپ از لحظه ی شروع برخورد تا لحظه ی پایان برخورد برابر است با:

(26-9)                                                              

با توجه به تعریف ضربه J وارد بر یک ذره که به شکل زیر بیان می شود:

(27-9)                                                                   

خواهیم داشت:

(28-9)                                                                          

یا:

(29-9)                                                                      

و برای مولفه ی x آن خواهیم داشت:

(30-9)                                                                        

و:

(31-9)                                                              

با توجه به شکل 9-5، ضربه را می توان به عنوان مساحت زیر منحنی نیرو بر حسب زمان تعبیر کرد. معمولا شکل واقعی تغییرات نیرو در بازه زمانی Δt مشخص نیست، بنابراین بهتر است نیروی متوسط Favg را که در حین ضربه اثر می کند به شکلی تعریف کنیم که داشته باشیم، (شکل 9-5 (b)):

(32-9)                                                                       

یک رشته از برخوردها

هنگامی که یک رشته از پرتابه ها (n پرتابه در بازه ی زمانی Δt) مانند شکل 9-6، به یک هدف ثابت برخور می کنند، اندازه حرکت خطی اولیه ی هر ذره برابر با mv و تغییر در اندازه حرکت خطی برای n ذره که در بازه زمانی Δt به هدف برخورد می کنند برابر است با nΔp، بنابراین اندازه ی ضربه وارد شده به هدف در این مدت برابر با nΔp و جهتش در خلاف جهت آن است:

(33-9)                                                                       

و نیروی متوسط وارد شده به هدف در این مدت برابر است با:

(34-9)                                                  

اگر ذره بعد از برخورد متوقف شود، خواهیم داشت:

(35-9)                                                      

اگر ذره بعد از برخورد، بدون کاهش سرعت در خلاف جهت اولیه حرکت کند (بعد از برخورد فقط جهت سرعت تغییر کند)، خواهیم داشت:

(36-9)                                                    

در بازه ی زمانی Δt، مقدار جرم Δm=nm به هدف برخورد می کند، با این نتیجه ما می توانیم معادله ی 9-34 را به شکل زیر بنویسیم:

(37-9)                                                                   

 

پایستگی اندازه حرکت خطی

هنگامی که نیروی خالص خارجی (و به موجب آن ضربه خالص) اعمال شده روی یک سیستم برابر صفر باشد (سیستم منزوی) و هیچ ذره ای به سیستم وارد نشود یا از آن خارج نشود (سیستم بسته)، با توجه به قانون دوم نیوتون خواهیم داشت:

(38-9)                                                                        

یعنی اگر نیروی خالص خارجی روی سیستم اعمال نشود، اندازه حرکت خطی سیستم نمی تواند تغییر کند. که به این نتیجه قانون پایستگی اندازه حرکت خطی می گویند. که به صورت زیر نوشته می شود:

(39-9)                                                                          

توجه داشته باشید که نیروهای داخلی نمی توانند اندازه حرکت خطی کل سیستم را تغییر بدهند. همچنین چون اندازه حرکت خطی کمیتی برداری است، اگر مولفه ای از نیروی خالص خارجی اعمال شده روی سیستم در راستای یک محور برابر با صفر باشد، مولفه ی اندازه حرکت خطی سیستم در راستای همان محور نمی تواند تغییر کند.

 

اندازه حرکت و انرژی جنبشی در برخوردها

اگر سیستمی متشکل از چند ذره داشته باشیم و فرض کنیم این سیستم منزوی و بسته باشد و ذرات این سیستم با یکدیگر برخورد داشته باشند، در تمامی این برخورد ها اندازه حرکت خطی ثابت می ماند. برای بررسی انرژی جنبشی، برخورد ها را به دو نوع برخوردهای کشسان (الاستیک) و ناکشسان (غیرالاستیک) تقسیم می کنند. در برخوردهای کشسان علاوه بر اندازه حرکت خطی، انرژی جنبشی نیز پایسته می ماند. اما در برخوردهای ناکشسان انرژی جنبشی مجموعه ذرات سیستم تغییر می کند، که مقداری از انرژی جنبشی برای تغییر شکل یا ساختار داخلی سیستم یا برای تغییر حالت سیستم مصرف می شود و یا به هر شکل دیگری از انرژی تبدیل شود.

 

برخوردهای ناکشسان در یک بعد

در برخوردهای ناکشسان فقط اندازه حرکت خطی پایسته می ماند، بنابراین برای سیستمی متشکل از دو ذره (شکل 9-7) داریم:

(40-9)                                                             

و با توجه به تعریف اندازه حرکت خطی، خواهیم داشت:

(41-9)                                                   

برخورد کاملا ناکشسان

در برخوردهای کاملا ناکشسان می توان گفت که دو جسم به طور کامل با هم جفت می شوند یا به هم می چسبند. شکل 9-8، یک برخورد کاملا ناکشسان را نشان می دهد. در این مورد با توجه به پایستگی اندازه حرکت خطی، می توانیم بنویسیم:

(42-9)                                                              

یا:

(43-9)                                                                

که در آن V سرعت دو جسم چسبیده به هم بعد از برخورد است.

سرعت مرکز جرم

در یک سیستم منزوی و بسته، سرعت مرکز جرم سیستم در اثر برخورد نمی تواند تغییر کند، (چون سیستم منزوی است و نیروی خالص خارجی به آن وارد نمی شود). بنابراین در این مورد برای برخورد نمایش داده شده در شکل 9-7، خواهیم داشت:

(44-9)                                                     

 

اندازه حرکت خطی کل در حین برخورد، پایسته است. بنابراین سمت چپ معادله ی 9-44 را می توانیم به شکل زیر بنویسیم:

(45-9)                                                                    

با قرار دادن این معادله در معادله ی 9-44و حل آن برای سرعت مرکز جرم، خواهیم داشت:

(46-9)                                                      

جمله ی سمت راست معادله ی بالا مقداری ثابت است، بنابراین سرعت مرکز جرم قبل و بعد از برخورد ثابت می ماند. برای مثال شکل 9-9 تعدادی تصویر لحظه ای از حرکت مرکز جرم شکل 9-8 را نشان می دهد. همان طور که شکل نشان می دهد سرعت مرکز جرم قبل و بعد از برخورد ثابت است.

 

برخوردهای کشسان در یک بعد

همان طور که قبلا اشاره شد در برخوردهای کشسان علاوه بر اندازه حرکت خطی، انرژی جنبشی کل سیستم نیز پایسته می ماند. به بیان دیگر:

"در یک برخورد کشسان ممکن است که انرژی جنبشی یک ذره تغییر کند اما انرژی جنبشی کل سیستم پایسته می ماند."

هدف ثابت

شکل 9-10، برخود یک پرتابه با یک هدف ثابت را در یک بعد نشان می دهد. برای این مورد با توجه به پایستگی اندازه حرکت خطی می توانیم بنویسیم:

(47-9)                                                          

اگر برخورد کشسان باشد، با توجه به پایستگی انرژی جنبشی می توانیم بنویسیم:

(48-9)                                                      

با یک جابه جایی ساده دو معادله بالا را به شکل زیر می نویسیم:

(49-9)                                                          

(50-9)                                                 

بعد از تقسیم دو معادله ی 9-49 و 9-50 بر هم، خواهیم داشت:

(51-9)                                                                

و:

(52-9)                                                               

اکنون چند حالت خاص را بررسی می کنیم:

1. جرم های مساوی: اگر m1 = m2 باشد، با توجه به معادلات 9-51 و 9-52 داریم:

                                                 (53-9)

که به این معنی است که پرتابه متوقف می شود و هدف با همان سرعت پرتابه شروع به حرکت می کند.

2. هدف سنگین: اگر هدف خیلی سنگین باشد (m2 m1). می توانیم بنویسیم:

(54-9)                                   

که به ما می گوید پرتابه بعد از برخورد تقریبا با همان سرعت اولیه بر می گردد (در خلاف جهت سرعت اولیه).

3. پرتابه سنگین: اگر پرتابه خیلی سنگین باشد  (m1 m2).می توانیم بنویسیم:

(55-9)                                              

که به این معنی است که پرتابه تقریبا با همان سرعت اولیه به حرکت خود ادامه می دهد و هدف نیز با سرعتی دو برابر سرعت اولیه پرتابه شروع به حرکت می کند.

هدف متحرک

در این قسمت به بررسی برخوردهایی با هدف متحرک می پردازی (شکل 9-11). در این گونه برخوردها با توجه به پایستگی اندازه حرکت خطی می توانیم بنویسیم:

(56-9)                                                  

 

و پایستگی انرژی جنبشی به ما می گوید که:

(57-9)                                            

برا حل این دو معادله برای  v1f و v2f  ، ابتدا معادلات 9-56 و 9-57 را به ترتیب به صورت زیر می نویسیم:

(58-9)                                                  

(59-9)                               

با تقسیم دو معادله 9-58 بر 9-59 و کمی محاسبات جبری خواهیم داشت: 

(60-9)                                                     

و: 

(61-9)                                                     

 

برخوردها در دو بعد

هنگامی که برخوردها کاملا روبرو (شاخ به شاخ) نباشند، بعد از برخورد اجسام در یک راستا حرکت نمی کنند و ما می توانیم حرکت را دو بعدی فرض کنیم. برای سیستم های منزوی و بسته می توانیم بنویسیم:

(62-9)                                                              

و اگر برخورد کشسان باشد، خواهیم داشت:

(63-9)                                                            

یک نمونه از این برخوردها در شکل 9-12، نشان داده شده است. با توجه به شکل، مولفه های اندازه حرکت خطی در راستای محور x برابر است با:

(64-9)                                                

و در راستای محور y :

(65-9)                                                  

و اگر برخورد کشسان باشد، خواهیم داشت:

(66-9)                                                     

 

سیستم هایی با جرم متغییر: موشک

تمام سیستم هایی که تا کنون بررسی شد، بر این فرض استوار بود که جرم سیستم ثابت باقی بماند. بعضی مواقع (در یک موشک) جرم تغییر می کند. در این قسمت به بررسی سیستم هایی با جرم متغییر می پردازیم.

                                                 

شکل 9-13، (a) یک موشک با جرم M در زمان t که از یک چارچوب مرجع لخت دیده می شود. (b) همان موشک در زمان t+dt .

 

پیدا کردن شتاب

فرض کنید که ما در یک چارچوپ مرجع لخت به یک موشک که در فضا شتاب می گیرد نگاه می کنیم، شکل 9-13(a). در یک بعد اگر M جرم موشک و v سرعت آن در زمان دلخواه t باشد. بعد از گذشت زمان dt (شکل 9-13(b))، سرعت راکت برابر با v+dv و جرم آن M+dM است. که در این جا تغییر جرم  dM منفی است. گازهای خروجی از موشک داری جرم –dM و سرعت U نسبت به چارچوب مرجع لخت است. در این مورد سیستم ما از یک موشک و گازهای خروجی آن تشکیل شده و سیستم منزوی و بسته است، بنابراین اندازه حرکت خطی در طی dt پایسته می ماند:

(67-9)                                                                         

که در آن زیر نویس های i و f بیانگر مقدار کمیت در ابتدا و انتهای بازه ی زمانیdt است. ما می توانیم این معادله را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

(68-9)                                                

ما می توانیم معادله بالا را با در نظر گرفتن سرعت نسبی بین موشک و گازهای خروجی vrel که به صورت زیر به هم مرتبط اند:

(سرعت گازهای خروجی نسبت به چارچوب) + (سرعت موشک نسبت به گازهای خروجی) = (سرعت موشک نسبت به چارچوب)

و در شکل نمادی به صورت زیر است:

(69-9)                                                               

یا:

(70-9)                                                                

به شکل زیر بنویسیم:

(71-9)                                                                  

با تقسیم هر دو طرف معادله 9-71 بر dt خواهیم داشت:

(72-9)                                                                 

اگر آهنگ زمانی کاهش جرم (آهنگ مصرف سوخت) را با  –R نشان بدهیم و a شتاب راکت باشد، خواهیم داشت:

(73-9)                                                                      

در موشک، عبارت Rvrel نیروی پیشران نامیده می شود و با T نشان داده می شود.

پیدا کردن سرعت

سرعت موشک بستگی به تغییر جرم آن دارد. از معادله ی 9-71، خواهیم داشت:

(74-9)                                                                   

با انتگرال گیری از معادله ی 9-74 خواهیم داشت:

(75-9)                                                           

که در آن Mi جرم اولیه و Mf جرم نهایی موشک است. با محاسبه ی انتگرال خواهیم داشت:   

(76-9)                                                              

 

                                        

 

 

شکل 9-1، (a) یک توپ که در هوا بالا انداخته شده است، مسیر سهمی وار را می پیماید. (b) مرکز جرم یک چوب بیسبال که  بالا انداخته می شود نیز یک مسیر سهمی وار را می پیماید.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 9-3، یک مشک آتشبازی که در هوا منفجر می شود. نیروهای درونی انفجار نمی توانند مسیر حرکت مرکز جرم را تغییر دهند.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 9-4، در اثر برخورد چوب بیس بال به توپ، نیروی F(t) به توپ وارد می شود.

 

 

 

 شکل 9-5، (a) نمودار بزرگی نیروی وارد بر توپ در جریان برخورد (شکل 9-4). مساحت زیر منحنی برابر است با ضربه ی J . و (b) نیروی متوسط وارد شده بر توپ در جریان برخورد.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 9-6، یک جریان پایدار از پرتابه ها با اندازه حرکت خطی یکسان که به هدف ثابت برخورد می کنند.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 شکل 9-7، اجسام 1 و 2 قبل و بعد از یک برخورد ناکشسان در یک راستای یک مسیر محور x حرکت می کنند. 

 

 

 

شکل 9-8، در یک برخورد کاملا ناکشسان دو جسم به یکدیگر می چسبند.

 

 

 

 

 

 شکل 9-9، تعدادی تصویر لحظه ای از سیستم دو ذره ای شکل 9-8. مرکز جرم سیستم روی خط چین قرمز نشان داده شده است.

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 9-10، جسم 1 در راستای محور x به سمت جسم ساکن2 حرکت می کند. بعد از یک برخور کشسان، هر دو جسم در راستای محور x حرکت می کنند.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 9-11، دو جسم از روبرو یک برخورد کشسان در یک بعد انجام می دهند.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 9-12، یک برخورد کشسان بین دو جسم در حالی که برخورد سر به سر (شاخ به شاخ) نیست. جسم 2 قبل از برخورد در حال سکون قرار دارد.