القاء و خودالقایی  

 

یک میدان مغناطیسی می تواند میدان الکتریکی و در نتیجه جریان تولید کند. این پیوند بین میدان مغناطیسی و میدان الکتریکی تولید شده (القا شده)، قانون القای فارادی نامیده می شود. مشاهدات مایکل فارادی و دیگر دانشمندان که منجر به این قانون شد ابتدا فقط مربوط به علوم پایه بود. امروزه، کاربردهای آن در هر جایی دیده می شود. برای مثال، القایش اساس کار گیتار الکترونیک است، همچنین اساس کار ژنراتورهای الکتریکی و خطوط انتقال و کوره های القایی عظیم در کارخانه های ذوب فلز - جایی که مقدار زیادی از فلز به سرعت باید ذوب شود - است.

 

دو آزمایش

آزمایش اول. شکل 30-1، یک حلقه رسانا را نشان می دهد که به یک جریان سنج حساس متصل شده است. چون هیچ باتری یا منبع emf وجود ندارد، جریانی نیز در حلقه وجود ندارد. در حالی که اگر یک آهنربای میله ای را به طرف حلقه حرکت دهیم، ناگهان جریانی در مدار ایجاد می شود. هنگامی که آهنربا می ایستد جریان ناپدید می شود. اگر آهنربا را دور کنیم باز هم جریان اما در خلاف جهت جریان اولیه ظاهر می شود. با انجام این آزمایش ما کشف می کنیم که:

1. جریان فقط زمانی ظاهر می شود که یک حرکت نسبی بین آهنربا و حلقه وجود داشته باشد. وقتی حرکت نسبی متوقف شود، جریان ناپدید می شود.

2. حرکت سریع تر، جریان بزرگتری تولید می کند.

3. اگر قطب شمال آهنربا را به طرف حلقه حرکت دهیم، جریان ساعتگرد در حلقه ایجاد می شو،. و با دور کردن قطب شمال از حلقه، جریان پادساعتگرد می شود. حرکت قطب جنوب آهنربا به طرف حلقه و دور کردن از حلقه نیز باعث ایجاد جریان اما در جهت عکس حالت قبل می شود.

جریان تولید شده در حلقه، جریان القایی نامیده می شود؛ کار انجام شده بر واحد بار برای تولید آن جریان نیروی محرکه ی القایی (emf القایی) نامیده می شود؛ و فرایندی را که جریان و emf راتولید می کند، القایش می نامند.

آزمایش دوم. برای این آزمایش از دستگاه شکل 30-2، استفاده می کنیم، با دو حلقه ی رسانای نزدیک به هم، اما نه متصل به هم. اگر ما کلید S  را ببندیم، جریان در جهت حلقه ی سمت چپ برقرار می شود، و جریان سنج ناگهان جریانی  - جریان القایی - را در حلقه ی سمت چپ نشان می دهد. اگر ما کلید S را باز کنیم، جریان ناگهانی دیگری در حلقه ی سمت چپ در جهت مخالف ظاهر می شود. ما یک جریان القایی و بنابراین یک emf القایی را فقط وقتی بدست می آوریم که جریان در حلقه ی سمت راست تغییر کند، نه وقتی که ثابت است.

 

قانون القای فارادی

فارادی پی برد که emf و جریان القا شده توسط دو آزمایش شرح داده شده با تغییر مقدار میدان مغناطیسی گذرنده از حلقه متناسب است. او همچنین پی برد که مقدار میدان مغناطیسی را می تواند توسط خطوط میدان گذرنده از میان حلقه تصور کرد. قانون القای فارادی به شرح زیر است:

"یک emf (نیروی محرکه) زمانی در سمت چپ شکل های 30-1 و 30-2 القا می شود که تعداد خطوط میدان مغناطیسی گذرنده از میان حلقه تغییر کند."

تعداد خطوط میدان گذرنده از میان حلقه اهمیتی ندارد؛ مقدار emf القایی و جریان القایی توسط آهنگ تغییر تعداد خطوط تعیین می شود.

شار مغناطیسی

برای به کار گیری قانون فارادی، ما به روشی برای محاسبه ی مقدار میدان مغناطیسی گذرنده از حلقه نیاز داریم. برای این منظور همان روشی را که برای تعریف شار الکتریکی  ΦEبه کار بردیم، در این جا استفاده می کنیم. ما شار مغناطیسی گذرنده از یک حلقه ی بسته به مساحت A که در میدان مغناطیسی B قرار گرفته است را به صورت زیر تعریف می کنیم:

 (1-30)                                                                    

که در آن dA برداری به بزرگی dA است که بر سطح dA عمود است. در یک مورد خاص، فرض کنید که حلقه در یک صفحه قرار دارد و میدان مغناطیسی عمود بر صفحه ی حلقه است. بنابراین در این حالت داریم B dA cos 0˚=B dA. اگر میدان مغناطیسی یکنواخت باشد، B از داخل انتگرال بیرون می آید. بنابراین خواهیم داشت:

(2-30)                                                                          

که در آن A مساحت حلقه است. با توجه به معادله ی بالا می بینم که یکای شار مغناطیسی در SI تسلا متر مربع است که وبر نامیده می شود:

(3-30)                                                          

با توجه به شار مغناطیسی، ما می توانیم قانون فارادی را به روش کمی و مفید زیر بیان کنیم:

"مقدار emf القا شده در یک حلقه ی رسانا، برابر است با آهنگ زمانی تغییر شار مغناطیس گذرنده از میان حلقه."

همان طور که در بخش بعدی خواهید دید، emf القایی E با تغییر شار مخالفت می کند، بنابراین قانون فارادی به شکل زیر فرمول بندی می شود:

(4-30)                                                                        

اگر ما شار مغناطیسی گذرنده از سیم پیچی با N دور را تغییر دهیم. یک emf القای در هر حلقه ظاهر می شود و  emf القایی کل در سیم پیچ، حاصل جمع تک تک این emf هاست. اگر سیم پیچ فشرده باشد (دورها به هم نزدیک باشد)، به گونه ای که شار مغناطیسی یکسانی از تمام دور ها عبور کند، emf کل القا شده در سیم پیچ برابر است با:

(5-30)                                                                       

ما می توانیم به سه روش، شار مغناطیسی درون سیم پیچ را تغییر بدهیم:

1. تغییر دادن بزرگی میدان مغناطیسی B درون سیم پیچ. 

2. تغییر دادن مساحت کل سیم پیچ یا بخشی از آن، که در میدان مغناطیس قرار دارد. ( منبسط کردن سیم پیچ یا حرکت دادن به درون یا خارج از میدان مغناطیسی)

3. تغییر دادن زاویه ی بین میدان مغناطیسی و صفحه ی سیم پیچ. ( چرخاندن سیم پیچ در میدان مغناطیسی).

 

قانون لنز

هنریک فردریک لنز قانونی برای تعیین جهت جریان القایی دررون حلقه پیشنهاد کرد:

"جریان القایی در جهتی است که میدان مغناطیسی ناشی از آن، با تغییر شار مغناطیسی که جریان را القا می کند مخالفت کند."

به علاوه، جهت emf القایی در جهت جریان القایی است. برای اینکه قانون لنز را درک کنیم، آن را برای شکل 30-3 به دو روش به کار می بریم، اگر قطب شمال آهنربای میله ای به طرف حلقه حرکت کند:

1. مخالفت با حرکت قطب. با نزدیک شدن قطب شمال آهنربا به حلقه در شکل 30-3، شار مغناطیسی گذرنده از حلقه افزایش می یابد و بنابراین جریان نیز در حلقه القا می شود. ما می دانیم که حلقه ی حامل جریان همانند یک دو قطبی با گشتاور دوقطبی μ در جهت جنوب به شمال عمل می کند. برای مخالفت با افزایش شار مغناطیسی آهنربا، قطب شمال حلقه (و بنابراین μ ) باید به طرف قطب شمال آهنربا باشد به گونه ای که آن را دفع کند. (شکل). سپس قاعده ی دست راست برای μ به ما می گوید که جریان القایی در حلقه در شکل باید پادساعتگرد باشد.

2. مخالفت با تغییر جریان. در شکل 30-3، با نزدیک شدن قطب شمال آهنربا به حلقه با میدان مغناطیسی B به طرف پایین، شار گذرنده از حلقه افزایش می یابد. برای مخالفت با این افزایش شار، جریان القایی i میدان مغناطیسی القایی  Bind به طرف بالا را درون حلقه ایجاد می کند. توجه داشته باشید که میدان Bind همیشه با تغییرات شار B مخالفت می کند، اما همیشه به این معنی نیست که Bind در جهت مخالف B باشد. برای مثال اگر آهنربا را از حلقه دور کنیم شار مغناطیسی گذرنده از حلقه کاهش می یابد، و میدان Bind باید در جهتی رو به پایین باشد تا با کاهش شار مخالفت کند، در این حالت Bind و B هم جهت هستند.

شکل 30-4، تعیین جهت جریان القایی با استفاده از قانون لنز و قاعده ی دست راست در حلقه ای که در میدان مغناطیسی خارجی قرار دارد. (a) و (c) میدان مغناطیسی خارجی B در حال افزایش. (b) و (d) میدان مغناطیسی خارجی B در حال کاهش.

 

القایش و انتقال انرژی

با استفاده از قانون لنز، مشاهده کردیم که نیروی مغناطیسی در برابر حرکت مقاومت می کند، و شما باید برای نیرو به کار رفته، کار مثبت انجام دهید. در همان زمان انرژی گرمایی در ماده سازنده ی حلقه تولید می شود (به دلیل مقاومت الکتریکی ماده در برابر جریان القایی). انرژی منتقل شده توسط نیروی به کار رفته به سیستم بسته ی حلقه آهنربا، به انرژی گرمایی منتج می شود. صرفنظر از چگونگی القای جریان در حلقه، انرژی همیشه به انرژی گرمایی تبدیل می شود (مگر اینکه حلقه ابر رسانا باشد).

شکل 30-5، یک حلقه ی سیمی مستطیل شکل به عرض L را نشان می دهد که در میدان مغناطیسی عمود بر سطح حلقه حرکت می کند. خط چین ها محدوده ی میدان مغناطیسی را نشان می دهد. شما می توانید حلقه را حرکت دهید. با حرکت حلقه با سرعت ثابت v به سمت راست، شار گذرنده از حلقه با زمان تغییر می کند. اجازه بدهید آهنگ کار مکانیکی که شما برای حرکت پایای حلقه انجام می دهد را محاسبه کنیم؛

برای اینکه شما حلقه را با سرعت ثابت v به طرف خود بکشید، شما باید نیروی ثابت F را به کار برید چون یک نیروی مغناطیسی با بزرگی یکسان اما در جهت مخالف با شما مخالفت می کند. با استفاده از معادله ی 7-39، آهنگ انجام کار توان برابر است با:

(6-30)                                                                           

که در آن F بزرگی نیروی شما است. در این جا ما می خواهیم عبارتی برای P برحسب میدان مغناطیسی B و ویژگی های حلقه پیدا کنیم. برای این منظور؛ با توجه به شکل 30-5، با حرکت حلقه به سمت راست، مساحت قسمتی از حلقه که درون میدان مغناطیسی است کاهش می یابد. بنابراین شار گذرنده از حلقه کاهش یافته و جریانی در حلقه القا می شود. حضور این جریان است که با کشیدن شدن حلقه به طرف شما مخالفت می کند. برای پیداکردن این جریان ابتدا از قانون فارادی استفاده می کنیم. وقتی x طول حلقه باقی مانده در میدان مغناطیسی باشد، مساحت آن قسمت از حلقه ی که هنوز در میدان است برابر است با Lx . بنابراین با استفاده از معادله ی 30-2، مقدار شار عبوری از حلقه برابر است با:

(7-30)                                                                   

اگر x کاهش یابد، شار نیز کاهش می یابد. بنابراین با درنظر نگرفتن علامت منفی در معادله ی 30-4، می توانیم بنویسیم:

(8-30)                                                   

که در آن v سرعت حرکت حلقه در میدان مغناطیسی است. شکل 30-4، حلقه را به عنوان یک مدار با emf القایی Eدر سمت چپ و یک مقاومت R در سمت راست نشان می دهد. جهت جریان القایی i با استفاده از قاعده ی دست راست، ساعتگرد تعیین می شود. برای پیدا کردن مقدار جریان القایی i، ما نمی توانیم قاعده ی حلقه را برای اختلاف پتانسیل در مدار به کار بریم، چون ما نمی توانیم یک اختلاف پتانسیل برای emf القایی تعریف کنیم. به هر حال، ما می توانیم از i=E/R استفاده کنیم، بنابراین:

(9-30)                                                                           

چون سه ضلع حلقه شکل 30-5، این جریان را حمل می کنند و در میدان مغناطیسی قرار دارند، نیروی وارد شده به این اضلاع توسط معادله ی زیر داده می شود:

(10-30)                                                                      

در شکل 30-5، این نیرو ها با F1 ، F2 و F3 نشان داده شده است. نیروهای  F2و F3 بزرگی یکسانی دارند، بنابراین یکدیگر را حذف می کنند. پس، فقط F1 نیروی باقی می ماند، که در جهت مخالف با نیروی F شما ست. بنابراین F=-F1با استفاده از معادله ی 30-10، برای پیدا کردن بزرگی  F1خواهیم داشت:

(11-30)                                                       

با قرار دادن i از معادله ی30-9 در معادله ی 30-11می توانیم بنویسیم:

(12-30)                                                                        

چونB، L و R ثابت هستند، اگر بزرگی نیرویی که شما به کار می برید ثابت باشد، سرعت v حرکت حلقه ثابت خواهد بود. بنابراین با استفاده از معادله 30-6، آهنگ انجام کار روی حلقه برای بیرون کشیدن آن از میدان مغناطیسی برابر است با:

(13-30)                                                                

سرانجام، آهنگ ظاهر شدن انرژی گرمایی در حلقه، اگر آن را با سرعت ثابت به طرف خود بکشید، برابر است با:

(14-30)                                                                        

با قرار دادن i از معادله ی 30-9 خواهیم داشت:

(15-30)                                                           

که دقیقا برابر است با آهنگ انجام کار توسط شما روی حلقه. بنابراین، کاری که شما برای کشیدن حلقه از درون میدان مغناطیسی به طرف خود انجام می دهد، سرانجام به صورت انرژی گرمایی در حلقه ظاهر می شود.

جریان های تلاطمی (گردابی)

فرض کنید به جای یک حلقه ی رسانا، ما یک صفحه ی رسانا را در شکل 30-5، جایگزین می کنیم. اگر ما صفحه را از میدان مغناطیسی خارج کنیم، حرکت نسبی میدان و رسانا دوباره یک جریان القایی در رسانا بوجود می آورد. بنابراین، ما دوباره با یک نیروی مخالف مواجه می شویم و باید کار انجام دهیم. درون صفحه ی رسانا، الکترون های رسانش یک جریان القایی را تولید می کنند، که همانند جریان در حلقه در یک مسیر مشخص نیست. در عوض، الکترون ها مانند گرداب درون صفحه رسانا می چرخند. چنین جریانی جریان تلاطمی نامیده می شود. و در شکل 30-7، یک تک مسیر آن نشان داده شده است. همانند حلقه ی رسانای شکل 30-5، جریان القایی در صفحه ی رسانا باعث می شود که انرژی مکانیکی به شکل انرژی گرمایی تلف شود.

شکل 30-7، جریان تلاطمی در یک صفحه ی رسانا.

 

میدان الکتریکی القایی

اجازه بدهید یک حلقه ی مسی به شعاع r را در یک میدان مغناطیسی خارجی یکنواخت همانند شکل 30-8 (a) قرار بدهیم. میدان حجم استوانه ای به شعاع R را پر می کند. فرض کنید که قدرت میدان با آهنگ ثابت افزایش پیدا می کند، بنابراین شار مغناطیسی گذردنده از حلقه نیز با آهنگ ثابت تغییر می کند و با استفاده از قانون فارادی، یک emf القایی و جریان القایی در حلقه ظاهر می شود. با استفاده از قانون لنز نتیجه می گیریم که جهت جریان القایی پادساعتگرد است.

اگر جریانی در حلقه وجود داشته باشد، یک میدان الکتریکی نیز باید در طول حلقه وجود داشته باشد، چون یک میدان الکتریکی برای انجام کار روی الکترون های متحرک لازم است. به هر حال، این میدان الکتریکی باید توسط تغییر شار مغناطیسی تولید شود. این میدان الکتریکی القایی E همانند میدان الکتریکی تولید شده بارهای ثابت است. بنابراین ما می توانم قانون القای فارادی را به صورت زیر بازگویی کنیم:

"تغییر در میدان مغناطیسی یک میدان الکتریکی تولید می کند."

با توجه به عبارت بالا، حتی اگر حلقه ی مسی نیز وجود نداشته باشد، میدان الکتریکی القا می شود. بنابراین حتی اگر تغییر میدان مغناطیسی در خلاء صورت بگیرد، میدان الکتریکی ظاهرخواهد شد.

شکل 30-8 (bمیدان مغناطیسی شکل 30-8 (a) را نشان می دهد به جز اینکه حلقه ی مسی با مسیر دایره ای به شعاع r جایگزین شده است. با افزایش بزرگی میدان مغناطیسی با آهنگ ثابت dB/dt . میدان الکتریکی در نقاط مختلف به شکل مسیرهای دایره ای القا می شود. (میدان الکتریکی در هر نقطه مماس بر دایره است، شکل 30-8 (b)). بنابراین مسیر دایره ای بیانگر خطوط میدان است.

اگر میدان مغناطیسی با زمان افزایش یابد، میدان الکتریکی توسط خطوط میدان دایره ای شکل نشان داده می شود. اگر میدان مغناطیسی ثابت باشد، میدان الکتریکی القایی وجود نخواهد داشت. اگر میدان مغناطیسی با زمان کاهش یابد (با آهنگ ثابت)، خطوط میدان الکتریکی دایره ای خواهند ماند اما در جهت مخالف حالت قبلی خواهند بود. شکل30-8 (c).

شکل 30-8، (a) اگر میدان مغناطیسی خارجی با آهنگ ثابت افزایش یابد، یک جریان القایی ثابت در جهت نشان داده شده در حلقه ی مسی ایجاد می شود. (b) حتی اگر حلقه ی مسی برداشته شود یک میدان الکتریکی القایی وجود خواهد داشت. (c) خطوط میدان الکتریکی القایی. (d) چهار مسیر بسته ی مشابه که مساحت یکسانی را محصور می کنند. در مسیرهای 1 و 2 که در میدان مغناطیسی قرار دارند emf های یکسانی القا می شود. و در مسیر 3 emf کوچکتری القا می شود و  emf القایی در مسیر 4 صفر است چون درون میدان مغناطیسی قرار ندارد. 

 

فرمول بندی مجدد قانون فارادی

ذره ای به بار q0 را درنظر بگیرید که در مسیر دایره ای شکل حرکت می کند. کار انجام شده توسط میدان الکتریکی القایی برابر است با W=Eq0.  وکار انجام شده بر واحد بار در مسیر دایره ای برابر است با:

(15-30)                                                         

که در آن Eq0  نیروی الکتریکی وارد بر با آزمون و 2πr مسافتی است که درآن نیرو به بار وارد می شود. از آن جایی که عبارت های بدست آمده برای W با یکدیگر برابراند، خواهیم داشت:

(16-30)                                                                       

یک عبارت کلی برای کار انجام شده روی ذره ای با بار q0 که در یک مسیر بسته حرکت می کند، به شکل زیر نوشته می شود:

(17-30)                                                          

با قرار دادن  E q0به جای W خواهیم داشت:

(18-30)                                                                      

بنابراین emf القایی به معنی کار انجام شده بر واحد بار الکتریکی برای نگه داشتن جریان ناشی از تغییر شار مغناطیسی، یا کار انجام شده بر واحد بار روی یک ذره  باردار که در یک مسیر بسته در شار مغناطیسی متغییر حرکت می کند است. معادله ی 30-18 نشان می دهد که یک emf القایی بدون نیاز به جریان یا ذره می تواند وجود داشته باشد. با ترکیب معادله ی  30-18 با قانون فارادی به شکل معادله ی 30-4، می توانیم قانون فارادی را به شکل زیر بنویسیم:

(19-30)                                                                

قانون فارادی به شکل معادله ی 30-19، می تواند برای هر مسیر بسته ای که در میدان مغناطیسی متغییر کشیده است به کار رود. برای مثال شکل 30-8 (dچهار مسیر متفاوت را نشان می دهد که شکل یکسان دارند اما در مکان های مختلفی قرار گرفته اند. با توجه به معادله ی 30-19، در مسیرهای 1 و 2 که در میدان مغناطیسی قرار دارند emf های یکسانی القا می شود. و در مسیر3، emf کوچکتری القا می شود و  emf القایی در مسیر 4 صفر است چون درون میدان مغناطیسی قرار ندارد

 

پتانسیل الکتریکی

میدان های الکتریکی نه تنها به وسیله ی بارهای ساکن، بلکه توسط تغییر شار مغناطیسی نیز تولید می شود. اگر چه میدان الکتریکی تولید شده در هر دو روش، به ذرات باردا نیرو وارد می کند، اما تفاوت مهمی بین آن ها وجود دارد. این تفاوت از آن جا ناشی می شود که خطوط میدان در میدان الکتریکی القایی حلقه های بسته ای را تشکیل می دهند. همانند شکل 30-8 (c). اما خطوط میدان تولید شده توسط بارهای ساکن هرگز اینگونه نیستند، باید از یک بار مثبت شروع شده و به بار منفی ختم شوند. بنابراین، ما می توانیم تفاوت بین میدان های الکتریکی تولید شده بوسیله ی القا و میدان های الکتریکی تولید شده توسط بارهای ساکن را به شکل زیر بیان کنیم:

"پتانسیل الکتریکی فقط برای میدان های الکتریکی تولید شده توسط بارهای ساکن معنی دارد، و برای میدان های الکتریکی تولید شده توسط القا معنی ندارد."

اگر در یکی از مسیر های دایره ای شکل 30-8 (c) از یک نقطه ی شروع کنیم، و به همان نقطه برگردیم، یکemf  را تجربه می کنیم. مثلا 5V . که کار 5 J/C را روی ذره انجام می دهد، و بنابراین ذره باید در مکانی که پتانسیل آن 5V بالاتر است قرار بگیرد. در حالی که این غیر ممکن است چون ذره به مکان اولیه خودش برگشته است و نمی تواند دو مقدار متفاوت پتانسیل داشته باشد. بنابراین پتانسیل برای میدان های الکتریکی که توسط تغییر میدان مغناطیسی تولید شده اند معنی ندارد.

به بیان دیگر، اختلاف پتانسیل بین دو نقطه ی i و f در یک میدان الکتریکی برابر است با:

(20-30)                                                             

اگر نقاط i و f  نقاط یکسانی باشند، مسیر بین آن ها حلقه ی بسته است، Vi و Vf برابر هستند، و معادله ی  30-20 برابر می شود با:

(21-30)                                                                     

در حالی که، وقتی تغییر شار مغناطیسی وجود داشته باشد، انتگرال بالا صفر نخواهد شد. بنابراین نتیجه می گیریم که پتانسیل الکتریکی برای میدان های الکتریکی القایی بی معنی است.

 

القاگر و ضریب خودالقایی

همان طور که قبلا گفته شد، یک خازن می تواند برای تولید میدان الکتریکی دلخواه مورد استفاده قرار گیرد. به طور مشابه، یک القاگر نیز برای برای تولید میدان مغناطیسی مورد استفاده قرار می گیرد. ما یک سیملوله ی طویل را به عنوان یک نوع القاگر درنظر می گیریم. اگر جریان i را در هر دور از سیملوله برقرار کنیم، یک القاگر ساخته ایم. جریان یک شار مغناطیسی در ناحیه ی مرکزی القاگر تولید می کند. ضریب خود القایی القاگر را به صورت زیر تعریف می کنیم:

(22-30)                                                                         

که در آن N تعداد دورهای سیملوله است. کمیت NΦB شار دسته جمعی گذرنده از سیملوله نامیده می شود. بنابراین، ضریب خود القایی برابر است با شار دسته جمعی تولید شده بوسیله ی القاگر بر واحد جریان. یکای ضریب خود القایی در SI تسلا متر مربع بر آمپر است، که هانری (H) نامیده می شود:

(23-30)                                                        

ضریب خود القایی سیملوله

یک سیملوله ی طویل با سطح مقطع A را در غیاب مواد مغناطیسی درنظر بگیرید. برای استفاده از معادله ی برای تعیین ضریب خود القایی آن، ما باید شار دسته جمعی تولید شده توسط جریان را درون سیملوله محاسبه کنیم. طول l در میانه ی سیملوله را در نظر بگیرید. شار دسته جمعی در آن جا برابر است با:

(24-30)                                                                   

که n تعداد دورها بر واحد طول سیملوله و B بزرگی میدان مغناطیسی درون سیملوله است. میدان مغناطیسی توسط رابطه ی زیر داده می شود:

(25-30)                                                                          

و از معادله ی 30-22 خواهیم داشت:

(26-30)                                    

بنابراین، ضریب خود القایی بر واحد طول سیملوله و در نزدیکی میانه ی آن برابر است با:

(27-30)                                                                        

ضریب خود القایی همانند ظرفیت خازن فقط به شکل هندسی وسیله بستگی دارد. اگر طول سیملوله خیلی بلند تر از قطرش باشد، معادله ی   30-27 تقریب خوبی از ضریب خود القایی سیملوله است. در این تقریب، پخش شدن خطوط میدان مغناطیسی در نزدیکی دو انتهای سیملوله نادیده گرفته می شود.

ما می توانی با استفاده از معادله ی 30-27، یکای ثابت تراوایی μ0 را برحسب هانری بر متر بیان کنیم: 

 

(28-30)                                               

 

خود القایی

اگر دو سیم پیچ که حالا القاگر می نامیم نزدیک یکدیگر قرار گیرند، جریان i در یکی از سیم پیچ ها، در سیم پیچ دوم شار مغناطیسی ΦB ایجاد می کند. اگر شار مغناطیسی بواسطه ی تغییر جریان تغییر کند، طبق قانون فارادی یک emf القایی در پیچه ی دوم ظاهر می شود. بعلاوه، یک emf القایی نیز در سیم پیچ اول ظاهر می شود:

"یک emf القایی EL در هر دو سیم پیچ به واسطه ی تغییر جریان در یکی از سیم پیچ ها ظاهر می شود."

این فرایند، (به شکل30-9 نگاه کنید) خود القایی نامیده می شود، و emf ظاهر شده، emf خود القا (نیروی محرکه ی خود القا) نامیده می شود. برای هر نوع القاگری، معادله 30-22 به ما می گوید که:

(29-30)                                                                         

با استفاده از قانون فارادی، خواهیم اشت:

(30-30)                                                                     

با ترکیب معادلات 30-29 و 30-30 می توانیم بنویسیم:

(31-30)                                                                        

بنابراین، در هر القاگر (از قبیل سیم پیچ، سیملوله، یا چنبره) اگر جریان درون آن با زمان تغییر کند، یک emf خود القا ظاهر می شود. بزرگی جریان تاثیری در بزرگی emf القایی ندارد؛ فقط آهنگ تغییر جریان محاسبه می شود.

ما می توانی با استفاده از قانون لنز، جهت emf خود القا را تعیین کنیم. علامت منفی در معادله ی 30-31، خاطر نشان می کند که EL در خلاف جهت تغییر جریان است. فرض کنید که مطابق شکل 30-10 (a)، جریان i با آهنگ di/dt در حال افزایش است. بنابراین، با استفاده از قانون لنز یک ELدر خلاف جهت جریان (مطابق شکل) ظاهر می شود. این EL به گونه ای در مدار ظاهر می شود که با افزایش جریان مخالفت کند. اگر جریان با زمان کاهش یابد (مطابق شکل30-10 (a))، یک emf خود القا در جهتی ظاهر می شود که با کاهش جریان مخالفت کند.

قبلا دیدیم که، ما برای میدان های الکتریکی تولید شده توسط تغییر شار مغناطیسی نمی توانیم پتانسیل الکتریکی تعریف کنیم. با توجه به این مطلب، وقتی یک emf خود القا در القاگر شکل تولید می شود، ما نمی توانیم یک پتانسیل الکتریکی درون خود القاگر تعریف کنیم. به هر حال، پتانسیل ها می توانند در نقاطی که داخل القاگر نیستند تعریف شود. بنابراین، ما می توانیم اختلاف پتانسیل خود القا VL (بین دو پایانه القاگر، که فرض می کنیم بیرون از ناحیه ی شار متغیر است) تعریف کنیم. برای یک القاگر ایده آل، بزرگی VLبرابر است با بزرگی EL.

توجه داشته باشید که، اگر سیم های القاگر داری مقاومت r باشند. ما می توانیم به طور ذهنی القاگر را به یک مقاومت r (در بیرون از ناحیه ی تغییر جریان) و یک القاگر ایده آل با emf خود القای ELتفکیک کنیم.

 

مدارهای RL

قبلا دیدیم که اگر یک مدار تک حلقه شامل  emf ، مقاومت R و خازن C داشته باشیم، بار روی خازن فورا به مقدار نهایی خود CE نمی رسد، و توسط تابع نمایی زیر داده می شود:

(32-30)                                                                 

آهنگ ایجاد بار روی خازن توسط ثابت زمانی خازن  تعیین می شود:

(33-30)                                                                        

و اگر ناگهان emf را از مدار برداریم، مقدار بار فورا به صفر نمی رسد، و طبق رابطه ی نمایی زیر به صفر می رسد:

(34-30)                                                                      

شکل 30-11، مداری شامل یک emf، یک مقاومت R و یک القاگر L را نشان می دهد. وقتی که کلید S در حالت a قرار گیرد، جریان در مقاومت شروع به افزایش می کند. اگر القاگر حضور نداشت، جریان فورا به مقدار ثابت E /R می رسد. در حضور القاگر، یکemf خود القا ELدر مدار ظاهر می شود؛ با استفاده از قانون لنز، این ELبا افزایش جریان مخالفت می کند. بنابراین جریان در مقاومت، نسبت به اختلاف بین دو emf واکنش نشان می دهد. یک Eثابت و یک ELمتغییر (به علت خود القایی). تا زمانی که ELوجود داشته باشد، جریان از E /Rکمتر خواهد بود. ما این نتیجه را به شکل زیر بیان می کنیم:

"یک القاگر در برابر تغییر جریان در خودش مخالفت می کند. بعد از یک زمان طولانی، القاگر شبیه به سیم رسانا عمل می کند."

اگر در شکل 30-11کلید S در حالت a قرار گیرد. مدار حاصل توسط شکل 30-12، نشان داده می شود. با به کار گیری قاعده ی حلقه برای این مدار، با شروع از نقطه ی x در شکل و حرکت ساعتگرد در مدار، هم جهت با جریان i :

1. مقاومت. چون ما هم جهت با جریان از مقاومت عبور می کنیم، پتانسیل الکتریکی به مقدار iR کاهش می یابد. بنابراین با حرکت از نقطه ی x به نقطه ی y تغییر پتانسیل برابر است باiR .

2. القاگر. چون جریان i تغییر می کند، یک ELدر القاگر وجود دارد، که بزرگی آن برابر L di/dt است. جهت آن در شکل 30-12 به طرف بالا است. بنابراین، با حرکت از نقطه ی y به نقطه ی z تغییر پتانسیل برابر است با L di/dt.

3. باتری. ما از نقطه ی z به نقطه ی شروع x حرکت می کنیم، تغییر پتانسیل در این حرکت برابر است با +E.

بنابراین، با استفاده از قاعده ی حلقه می توانیم بنویسیم:

(35-30)                                                               

یا:

(36-30)                                                                     

معادله ی بالا، یک معادله دیفرانسیل شامل متغییر i و مشتق مرتبه اول آن di/dt است. شرایط اولیه این معادله i(0)=0 است. معادله ی 30-36 و شرایط اولیه آن دقیقا به شکل معادله ی 27-44 است. بنابراین با قرار دادن i به جای q، L به جای R و R به جای 1/C در معادله ی 27-45، جواب معادله ی 30-36 برابر است با:

(37-30)                                                                 

ما می توانیم معادله ی بالا را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

(38-30)                                                                 

که در آن τL، ثابت زمانی القایی توسط رابطه ی زیر داده می شود:

(39-30)                                                                           

اگر ما در معادله ی30-38،  قرار دهیم t=0، خواهیم داشت e-0=1 . بنابراین، معادله ی 30-38 به ما می گوید که جریان باید صفر باشد، همان چیزی که انتظار داشتیم. حالا اگر t به سمت بینهایت میل کند، خواهیم داشت e-=0 . بنابراین، معادله ی 30-38 به ما می گوید که جریان در این حالت برابر است با E /R.

برای اینکه نشان دهیم کمیتτL دارای بعد زمان است، ما یکای هانری بر اهم را به شکل زیر تبدیل می کنیم:

(40-30)                                                    

کمیت داخل پرانتز اول، ضریب تبدیل بر پایه ی معادله ی 30-31 است، و پرانتز دوم ضریب تبدیل بر پایه ی رابطه ی V=iR است. اگر در معادله ی 30-38، قرار دهیم t=τL خواهیم داشت:

(41-30)                                                            

بنابراین، ثابت زمانی، زمانی است که جریان در مدار به 63% مقدار نهایی E /Rخود در حالت تعادل می رسد. از آن جایی که اختلاف پتانسیل دو سر مقاومت با جریان متناسب است، نمودار افزایش جریان با زمان توسط شکل 30-13 (a) نشان داده می شود.

اگر کلید S در شکل به مدت طولانی در حالت a قرار گیرد تا جریان E /R در حالت تعادل برقرار شود و سپس کلید در حالت b قرار داده شود، اثر باتری از مدار حذف می شود. با حذف باتری، جریان عبوری از مقاومت کاهش خواهد یافت. به هر حال جریان فورا صفر نمی شود و با گذشت زمان کمتر و کمتر شده تا به صفر برسد (30-13 (b)). معادله دیفرانسیلی که صفر شدن جریان را نشان می دهد، می تواند با قرار دادن E=0 در معادله ی 30-36، تعیین شود:

(42-30)                                                                     

با مقایسه این معادله با معادلات 27-50 و 27-51 ، حل این معادله دیفرانسیل با شرایط اولیه i(0)=i0=E /R برابر است با:

(43-30)                                                             

ما مشاهده می کنیم که هم افزایش جریان و هم صفر شدن جریان در یک مدار RL توسط ثابت زمانی یکسان τL فرمول بندی می شود.

 

انرژی ذخیره شده در میدان مغناطیسی

برای استنتاج یک عبارت برای انرژی ذخیره شده، با توجه به شکل30-12، خواهیم داشت:

(44-30)                                                                     

این معادله دیفرانسیل رشد جریان در مدار را نشان می دهد. این معادله از قاعده ی حلقه در مدار بدست آمده و این قاعده بر گرفته از اصل پایستگی انرژی در یک تک حلقه است. اگر ما دو طرف معادله ی بالا را در i ضرب کنیم، خواهیم داشت:

(45-30)                                                                  

که تعبیر فیزیک آن بر حسب کار انجام شده توسط باتری و انرژی منتقل شده به شرح زیر می باشد:

1. اگر مقدار بار dq در زمان dt از باتری عبور کند، کار انجام شده توسط باتری برابر است باE dq. آهنگ انجام کار توسط باتری برابر است با E dq/dtیا E i. بنابراین سمت چپ معادله ی بالا بیانگر آهنگ تحویل انرژی توسط وسیله ی emf به مدار است.

2. آخرین جمله ی سمت راست در معادله ی 30-45 بیانگر آهنگ ظاهر شدن انرژی به شکل انرژی گرمایی در مقاومت است.

3. انرژی که به مدار تحویل داده می شود ولی به شکل انرژی گرمایی ظاهر نمی شود، با استفاده از فرضیه ی پایستگی انرژی، در میدان مغناطیسی القاگر ذخیره می شود. چون معادله ی 30-45 بیانگر اصل پایستگی انرژی برای مدار RL است، جمله ی میانی معادله بیانگر آهنگ dUB/dt انرژی پتانسیل مغناطیسی UB ذخیره شده در میدان مغناطیسی است.

بنابراین:

(46-30)                                                                      

که می توانیم بنویسیم:

(47-30)                                                                       

با انتگرال گیری خواهیم داشت:

(48-30)                                                                 

یا:

(49-30)                                                                        

که بیانگر انرژی کل ذخیره شده در القاگر L با جریان i است. توجه داشته باشید که این معادله با معادله ی بدست آمده برای انرژی ذخیره شده در خازن شباهت زیادی دارد:

(50-30)                                                                          

که در آن i2 متناظر است با q2 و ثابت L متناظر است با 1/C.

 

چگالی انرژی میدان مغناطیسی

طول l در نزدیکی میانه ی یک سیملوله ی طویل را درنظر بگیرید. اگر مساحت سطح مقطع سیملوله برابر A و جریان گذرنده از آن برابر i باشد؛ حجم مربوط به این طول برابر است با Al. انرژی ذخیره شده توسط طول l سیملوله باید درون این حجم قرار داشته باشد، چون میدان مغناطیسی در خارج از سیملوله تقریبا صفر است. به هر حال، انرژی ذخیره شده باید درون سیملوله توزیع یکنواخت داشته باشد، چون میدان مغناطیسی درون سیملوله تقریبا یکنواخت است. بنابراین انرژی ذخیره شده بر واحد حجم میدان برابر است با:

(51-30)                                                                            

از آنجایی که:

(52-30)                                                                       

خواهیم داشت:

(53-30)                                                                   

در این جا L ضریب خود القایی طول l سیملوله است. با قرار دادن L/l از معادله ی 30-27، خواهیم داشت:

(54-30)                                                                    

که در آن n تعداد دورهای بر واحد طول است. با استفاده از معادله ی B=μ0in ، می توانیم چگالی انرژی را به صورت زیر بنویسیم:

(55-30)                                                                         

معادله ی بالا چگالی انرژی ذخیره شده در هر نقطه از میدان مغناطیسی B است. اگر چه ما معادله ی 30-55 را برای سیملوله بدست آوردیم، ولی برای تمام میدان های مغناطیسی صادق است و به چگونگی تولید آن بستگی ندارد. معادله 30-55 با معادله ی بدست آمده برای چگالی میدان الکتریکی قابل مقاسیه است:

(56-30)                                                                       

که چگالی انرژی (در خلاء) را در هر نقطه از میدان الکتریکی می دهد. توجه داشته باشید که هر دو uB و uE به ترتیب با مربع میدان های B و E بستگی دارد.

 

القای متقابل

قبلا دیدیم که اگر دو سیم پیچ به یکدیگر نزدیک باشند، همانند شکل 30-14، جریان پایای i در یکی از آن ها، در سیم پیچ دیگر شار مغناطیسی ایجاد می کند. اگر ما i را با زمان تغییر دهیم، یک emf در سیم پیچ دیگر ظاهر می شود؛ ما این فرایند را القا می نامیم. بهتر است که ما این فرایند را القای متقابل بنامیم، چون بر اثر برهمکنش متقابل دو سیم پیچ ظاهر می شود تا از خود القایی که شامل یک سیم پیچ می شود متمایز شود.

شکل 30-14 (a)، دو سیم پیچ نزدیک به هم را نشان می دهد که یک محور مرکزی مشترک دارند. با مقاومت متغییر R ، باتری یک جریان پایای i1 در سیم پیچ (1) ایجاد می کند. این جریان یک میدان مغناطیسی B1 تولید می کند که در شکل با خطوط میدان نشان داده شده است. سیم پیچ (2) به یک جریان سنج حساس متصل شده است، شار مغناطیسی Φ21 (شار درون سیم پیچ (2) وابسته به جریان در سیم پیچ (1)) از درون N2 دور سیم پیچ (2) عبور می کند.

شکل 30-14، القای متقابل دو سیم پیچ.

ما ضریب القای متقابل M21 سیم پیچ (2) نسبت به سیم پیچ (1) را به صورت زیر تعریف می کنیم:

(57-30)                                                                      

که شکل یکسانی با معادله ی 30-22 دارد:

(58-30)                                                                        

ما می توانی معادله ی 30-57 را به صورت زیر باز نویسی کنیم:

(59-30)                                                                    

اگر با تغییر R جریان i1 با زمان تغییر کند، خواهیم داشت:

(60-30)                                                                

سمت راست این معادله طبق قانون فارادی، برابر است با (E2) emf ظاهر شده در سیم پیچ (2) بواسطه ی تغییر جریان در سیم پیچ (1) است. بنابراین، با علامت منفی که جهت را نشان می دهد:

(61-30)                                                                     

حالا اجازه بدهید نقش سیم پیچ های (1) و (2) را عوض کنیم، شکل 30-14 (b). ما جریان i2 را بوسیله ی یک باتری در سیم پیچ (2) ایجاد می کنیم، و این یک شار مغناطیسی Φ12 در سیم پیچ (1) تولید می کند. اگر با تغییر R جریان i2 با زمان تغییر کند، خواهیم داشت:

(62-30)                                                                    

بنابراین، ما می بینیم که emf القا شده در هر سیم پیچ متناسب است با آهنگ تغییر جریان در سیم پیچ دیگر. ثابت تناسب M21 و M12 متفاوت به نظر می رسد. ما ادعا می کنیم، بدون اثبات، که آن ها در واقع یکسان هستند. بنابراین، ما خواهیم داشت:

(63-30)                                                                   

و می توانیم معادلات 30-61 و 30-62 را به شکل زیر بنویسیم:

(64-30)                                                                      

و

(65-30)                                                                      

 

 

شکل 30-1، با حرکت آهنربا نسبت به حلقه جریان سنج منحرف می شود.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 30-2، با بستن کلید یک جریان در حلقه ی سمت چپ القا می شود.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 30-3، حرکت آهنربا یک دوقطبی مغناطیسی تولید می کند که با حرکت آهنربا مخالفت می کند.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 30-5، با کشیدن حلقه به سمت خودتان مساحت کاهش و بنابراین شار مغناطیسی گذرنده از سطح حلقه نیز کمتر می شود و یک جریان القایی در جهت نشان داده شده ایجاد می شود.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 30-6، مدار حلقه ی شکل 30-5 در حالی که حلقه حرکت می کند.

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 30-9، اگر با تغییر مقدار مقاومت متغییر ، جریان در سیم پیچ تغییر کندف یک emf خود القایی در  سیم پیچ ظاهر می شود و جریان را تغییر می دهد.

 

 

 شکل 30-10، (a) .جریان i افزایش می یابد و emf خود القایی در جهتی ظاهر می شود که با افزایش جریان مخالفت کند. (b) جریان i کاهش می یابد و emf خود القایی در جهتی ظاهر می شود که با کاهش جریان مخالفت کند.

 

 

 

 

 

شکل 30-11، یک مدار RL . وقتی کلید S در حالت a قرار بگیرد جریان افزایش می یابد.

 

 

 

 

 

 شکل 30-12، مدار شکل 30-11 وقتی در حالت a قرار دارد. قاعده ی حلقه کیرشهوف در جهت ساعتگرد به کار می رود.

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 30-13، (a) نمودار تغییرات اختلاف پتانسیل دو سر مقاومت با زمان مدار شکل 30-12. (b) نمودار تغییرات اختلاف پتانسیل دوسر القاگر با زمان همان مدار.