میدان های مغناطیسی ناشی از جریان  

 

مشاهدات فیزیکی نشان می دهند که ذرات باردار متحرک در اطراف خور میدان مغناطیسی تولید می کنند. بنابراین یک جریان از بارهای متحرک نیز در اطراف جریان میدان مغناطیسی تولید می کند. این منظر از الکترومغناطیس، که ترکیب اثر های الکتریسیته و مغناطیس است، هنگامی که کشف شد مردم را شگفت زده کرد. این خصیصه در زندگی روزمره بسیار مهم شد، به گونه ای که اساس کار وسایل الکترومغناطیس بیشماری شد. برای مثال، میدان مغناطیسی در قطارهای پر سرعت و وسایل دیگری که برای بلند کردن بار های سنگین به کار می رود، تولید می شود.

 

محاسبه ی میدان مغناطیسی ناشی از جریان

شکل 29-1، سیمی با شکل دلخواه با جریان i را نشان می دهد. برای پیدا کردن میدان مغناطیسی در نقطه ی نزدیک P ، ابتدا در ذهنمان سیم را به اجزاء دیفرانسیلی با طول ds تقسیم می کنیم. ds برداری است که طول آن برابر با ds و جهت آن در راستای جریان در ds است. ما می توانیم یک جزء دیفرانسیلی جریان طول به صورت ids تعریف کنیم، و میدان مغناطیسی dB تولید شده توسط جزء دیفرانسیلی جریان طول را در نقطه ی P محاسبه کنیم. میدان مغناطیسی خالص B با استفاده از انتگرال گیری از dB روی تمام اجزاء جریان طول بدست می آید.

بزگی میدان dB تولید شده در نقطه ی P در فاصله ی r توسط جزء ids توسط معادله ی زیر داده می شود:

(1-29)                                                                   

که در آن θ زاویه ی بین جهت ds و بردار یکه ^r (برداری از ds به طرف نقطه ی P) است.  μ0یک ثابت است، که ثابت تراوایی نامیده می شود و مقدار دقیق آن به شکل زیر تعریف می شود:

(2-29)                                             

جهت dB ، به سمت درون صفحه ی شکل 29-1، نشان داده شده است، که حاصل ضرب برداری ^ds×r است. بنابراین می توانیم معادله ی 29-1، را به صورت برداری بنویسیم:

(3-29)                                                                   

این معادله ی برداری و شکل اسکالر آن، قانون بیو ساوار نامیده می شود. ما باید با استفاده از این قانون، میدان خالص B تولید شده توسط توزیع های گوناگون جریان را محاسبه کنیم.

میدان مغناطیسی ناشی از جریان در سیم مستقیم بلند

میدان مغناطیس در فاصله ی عمودی R از یک سیم مستقیم بلند ( نامتناهی) که جریان i از آن می گذرد برابر است با:

(4-29)                                                                         

این میدان مغناطیس فقط به جریان و فاصله ی عمودی از سیم بستگی دارد. با توجه به شکل های 29-2 و 29-3، مشاهده می کنیم که میدان مغناطیسی در اطراف سیم مستقیم بلند به شکل دایره های هم مرکز است. و با افزایش فاصله از سیم بزرگی میدان مغناطیسی نیز کم می شود. در اینجا جهت میدان مغناطیس نیز از قاعده ی دست راست تعیین می شود (شکل 29-4)؛

"اگر سیم را طوری در دست راست بگیریم که شست دست راست در جهت جریان باشد، جهت خم شدن چهار انگشت، جهت میدان مغناطیسی در اطراف سیم را نشان می دهد."

با نگاه کردن به شکل متوجه می شویم که B در هر نقطه، بر خطوط میدان مغناطیسی مماس است.

                                                      

  شکل 29-4، قاعده ی دست راست برای تعیین جهت میدان مغناطیسی ناشی از جریان درون یک سیم.

 

اثبات معادله ی

ما می خواهیم میدان مغناطیسی را در نقطه ی P به فاصله ی عمودی R از سیم شکل 29-5، تعیین کنیم. بزرگی میدان مغناطیسی dB تولید شده توسط جزء جریان طول ids در نقطه ی P به فاصله ی r از ids ، با استفاده از قانون بیو ساوار برابر است با:

(5-29)                                                                 

جهت dB با توجه به تعریف ضرب برداری ^ds×r به سمت داخل صفحه ی شکل و برای همه ی  idsدر یک جهت است. بعلاوه، با توجه به شکل 29-5، میدان مغناطیسی تولید شده توسط نیمه بالایی سیم دقیقا با میدان مغناطیس تولید شده توسط نیمه پایینی برابر است. بنابراین می توانیم با محاسبه میدان مغناطیسی ناشی از نیمه بالایی و دو برابر کردن آن، میدان مغناطیسی کل را بدست آورد:

(6-29)                                                     

متغییر های θ، s و r در معادله بالا از یکدیگر مستقل نیستند، با توجه به شکل می توانیم بنویسیم:

(7-29)                                                                     

و:

(8-29)                                                      

با قرار دادن این مقادیر در معادله ی 29-6  و انتگرال گیری (به پیوست نگاه کنید)، خواهیم داشت:

(9-29)                                                            

با محاسبه ی این انتگرال:

(10-29)                                                   

همان چیزی که انتظار داشتیم. توجه داشته باشید که بزرگی میدان مغناطیسی ناشی از یک نیمه بالایی یا پایینی سیم در نقطه ی P برابر است با:

(11-29)                                                                       

میدان مغناطیسی ناشی از جریان در یک قوس از سیم

برای پیدا کردن میدان مغناطیسی تولید شده توسط یک سیم خمیده حامل جریان، باید دوباره از معادله ی 29-1، استفاده کنیم و روی همه ی اجزاء جریان طول انتگرال بگیریم. انتگرال با توجه به شکل سیم ممکن است دشوار باشد؛ به هر حال، وقتی سیم به شکل یک قوس و نقطه در مرکز قوس باشد، انتگرال سرراست خواهد بود.

شکل 29-6، یک سیم قوسی شکل با زاویه ی مرکزی ϕ، شعاع R، و مرکز C را نشان می دهد که جریان i را حمل می کند. با توجه به شکل 29-6 (b) زاویه بین بردار ds و ^ rنود درجه است، همچنین r=R . بنابراین با قرار دادن R به جای r و 90˚ به جای θ ، خواهیم داشت:

(12-29)                                                    

با به کارگیری قاعده دست راست در طول سیم (شکل 29-6 (c))، نتیجه می گیریم که همه ی dB ها جهت یکسانی در نقطه ی C و به سمت خارج از صفحه ی شکل دارند. بنابراین میدان کل در نقطه ی C حاصل جمع (با انتگرالگیری) همه ی میدان های جزئی dB است. با استفاده از رابطه ی ds=Rdϕ، می توانیم در انتگرال بالا متغیر ds را به dϕ تبدیل کنیم. بنابراین خواهیم داشت:

(13-29)                                            

با انتگرال گیری بدست می آوریم:

(14-29)                                                                       

توجه داشته باشید که معادله ی بالا، میدان مغناطیسی را فقط در مرکز قوس می دهد. همچنین وقتی داده ها را در معادله قرار می دهید، توجه داشته باشید کهϕ  بر حسب رادیان بیان می شود نه درجه. مثالا، برای پیدا کردن بزرگی میدان مغناطیسی در مرکز یک حلقه کامل حامل جریان i، ما باید به جای ϕ قرار دهیم 2π، بنابراین:

(15-29)                                                             

 

نیروی بین دو جریان موازی

دو سیم موازی و طویل حامل جریان به یکدیگر نیرو وارد می کنند. شکل 29-7، این دو سیم را نشان می دهد که در فاصله ی d از یکدیگر قرار دارند و جریان های ia و ib از آن ها عبور می کند. ما ابتدا نیروی وارد بر سیم b را تعیین می کنیم؛ جریان  iaدر سیم a ، در اطراف خود یک میدان مغناطیسی ایجاد می کند، بزرگی این میدان در محل سیم b با استفاده از معادله ی 29-4 برابر است با:

(16-29)                                                                       

با استفاده از قاعده ی دست راست متوجه می شویم که جهت این میدان در سیم b به سمت پایین است. شکل 29-4. حالا با داشتن میدان مغناطیسی، می توانیم نیروی وارد بر سیم b را محاسبه کنیم. معادله ی 28-29 به ما می گوید که نیروی Fba روی طول L از سیم b ناشی از میدان Ba برابر است با:

(17-29)                                                                  

که در آن L بردار طول سیم است. در شکل ، دو بردار L و Ba بر هم عمود هستند، بنابراین می توانیم بنویسیم:

(18-29)                                                    

جهت Fba در جهت حاصل ضرب برداری L×Ba است و با استفاده از قاعده ی دست راست برای حاصل ضرب برداری تعیین می شود. در شکل ما می بینیم که جهت  Fba به سمت سیم a است.

به طور کلی می توانیم نشان دهیم که؛ "جریان های موازی یکدیگر را جذب می کنند و جریان های پاد موازی یکدیگر را دفع می کنند."

نیروی بین دو جریان در سیم های موازی مبنای تعریف آمپر است، که یکی از هفت یکای اصلی در SI است. تعریفی که در سال 1964 پذیرفته شد این است؛ یک آمپر جریان ثابتی است که اگر بین دو سیم مستقیم، موازی و بینهایت بلند با سطح مقطع دایره ای قابل چشم پوشی، که در فاصله یک متر از یکدیگر در خلاء قرار گرفته، برقرار شود، نیرویی به بزرگی 2×10-7 نیوتون بر واحد طول (1 متر) به یک از سیم ها وارد می شود.

تفنگ ریلی

یکی از کاربردهای فیزیک از معادله ی 29-28، تفنگ ریلی است. در این وسیله، میدان مغناطیسی یک پرتابه را در زمان کوتاهی تا سرعت های بالا شتاب می دهد. اساس کار تفنگ ریلی در شکل 29-8، نشان داده شده است. یک جریان بزرگ در طول یکی از دو رسانای موازی (ریل) فرستاده می شود، این جریان از یک فیوز رسانا (از قبیل قطعات باریک مس) بین دو ریل عبور کرده و سپس توسط ریل دوم به منبع جریان بر می گردد. پرتابه در قسمت بالای فیوز و بین ریل ها قرار می گیرد. بلافاصله بعد از برقراری جریان، اجزاء فیوز ذوب و بخار شده، و یک گاز رسانا بین دو ریل و در محل فیوز می سازند.

با استفاده از قاعده ی دست راست، معلوم می شود که جریان نشان داده شده در شکل 29-8 (b)، یک میدان مغناطیسی در جهت رو به پایین بین دو ریل ایجاد می کند. میدان مغناطیسی خالص B نیروی F را روی گاز حامل جریان وارد می کند. با استفاده معادله ی 29-17 و قاعده ی دست راست برای ضرب برداری، متوجه می شویم که جهت این نیرو به سمت بیرون از ریل هاست. شکل 29-8 (b). هنگامی که گاز به سمت بیرون ریل هل داده می شود، به پرتابه نیرو وارد می کند، شتاب ناشی از این نیرو حدود 5×106g است که سرعت پرتابه را به 10km/s می رساند.لازم به ذکر است که کل این فرایند در یک میلی ثانیه رخ می دهد.

 

قانون آمپر

ما با استفاده از معادله ی 29-3 می توانیم میدان مغناطیسی ناشی از هر توزیع جریان را بدست آوریم. به هر حال، اگر توزیع جریان متقارن باشد، ما ممکن است قادر باشیم قانون آمپر را برای پیدا کردن میدان مغناطیسی به کار ببریم. این قانون که می تواند از قانون بیو ساوار استخراج شود، به آندر-ماری آمپر، کسی که یکای SI جریان به نام او است، نسبت داده شده است. به هر حال، قانون واقعا توسط فیزیکدان انگلیسی جیمز کلرک ماکسول مطرح و پیشرفت داده شد.

قانون آمپر:

(19-29)                                                                

علامت حلقه روی انتگرال به این معنی است که حاصل ضرب اسکالر B.dsباید حول یک حلقه ی بسته، که حلقه ی آمپری نامیده می شود، انتگرال گیری شود. جریان ienc جریان خالص محصور شده درون حلقه ی بسته است. شکل 29-9 سطح مقطع سه سیم مستقیم و بلند را نشان می دهد که حامل جریان های i1، i2 و i3 به صورت درون سو برون سو نسبت به صفحه ی شکل است. یک حلقه ی آمپری به شکلی کشیده شده است که دو جریان را در بر می گیرد. حرکت پادساعتگرد برای حرکت روی حلقه و انتگرال گیری درنظر گرفته شده است. برای به کار گیری قانون آمپر، ما حلقه را (در ذهن مان) به اجزاء برداری دیفرانسیلی ds که مماس بر حلقه و در جهت انتگرال گیری هستند تقسیم می کنیم. شکل 29-9. میدان مغناطیسی خالص ناشی از سه جریان B است. چون سیم ها بر صفحه عمود هستند، نتیجه می گیریم که میدان مغناطیسی ناشی از هر جریان در ds در صفحه ی شکل است. بنابراین، میدان مغناطیسی خالص آن ها در ds باید در صفحه ی شکل باشد. به هر حال، ما جهت B را درون صفحه نمی دانیم. در شکل به طور اختیاری در زاویه ی θ نسبت به ds کشیده شده است. با استفاده از تعریف حاصل ضرب اسکالر (برداری)، قانون آمپر را می توانیم به شکل زیر بنویسیم:

(20-29)                                                  

ما نیاز نداریم تا جهت B را قبل از انتگرال گیری بدانیم. ما به طور اختیاری فرض می کنیم که B در جهت انتگرال گیری است (همانند شکل 29-9)، سپس با استفاده از قاعده ی دست راست برای سیم حامل جریان، علامت منفی یا مثبت را به هر یک از جریان های تشکیل دهنده ی جریان خالص ienc نسبت می دهیم؛

"انگشتان دست راست خود را دور حلقه ی آمپری به شکلی خم کنید که نوک انگشتانتان در جهت انتگرال گیری باشد. یک جریان درون حلقه که در جهت شست شما باشد با علامت مثبت، و جریان درون حلقه که در خلاف شست شما باشد با علامت منفی نشان داده می شود."

سرانجام، با حل معادله ی 29-20، اگر B مثبت شد، جهت فرض شده برای B درست است. اگر B منفی شد، B در جهت مخالف فرض اولیه خواهد بود.

در شکل 29-10، قاعده ی دست راست برای قانون آمپر برای وضعیت شکل 29-9 نشان داده شده است. چون انتگرال گیری در جهت پادساعتگرد است، جریان خالص درون حلقه برابر است با:

(21-29)                                                                    

(جریان i3 درون حلقه نیست). بنابراین، ما می توانیم قانون آمپر را به شکل زیر بنویسیم:

(22-29)                                                        

شما ممکن است تعجب کنید چرا، از آن جایی که جریان i3 در بزرگی میدان مغناطیسی B سمت چپ معادله ی 29-22 سهم دارد، در سمت راست معادله ظاهر نشده است. پاسخ این است که سهم جریان i3 در میدان مغناطیسی حذف شده است زیرا انتگرال گیری در معادله ی 29-22 حول حلقه ی کامل انجام می گیرد، و سهم هر جریانی که درون حلقه بسته است، حذف نمی شود. ما نمی توانیم معادله ی 29-22 را برای میدان مغناطیسی B حل کنیم، چون در وضعیت نشان داده شده در شکل 29-10، ما اطلاعات کافی را برای ساده سازی و حل انتگرال نداریم. به هر حال، ما می دانیم که خروجی انتگرال باید با μ0(i1-i2) برابر باشد.

میدان مغناطیسی در خارج از یک سیم مستقیم بلند حامل جریان

شکل 29-11، سیم مستقیم بلندی را نشان می دهد که حامل جریان i به سمت خارج از صفحه ی شکل است. با توجه به معادله ی29-4 نتیجه می گیریم که بزرگی میدان مغناطیسی تولید شده توسط جریان در تمام نقاط که در فاصله ی r از مرکز سیم قرار دارند، یکسان است؛ میدان B حول سیم تقارن استوانه ای دارد. بنابراین، حلقه ی آمپری را دایره ای به شعاع r و مرکز سیم درنظر می گیریم. با توجه به اینکه B در هر نقطه در طول حلقه مماس بر حلقه و بنابراین مماس بر ds است. پس، زاویه ی θ بین ds و B صفر درجه خواهد بود، بنابراین در معادله ی 29-20 قرار می دهیم cos θ=cos 0˚=1:

(23-29)                                        

که در آن 2πr محیط دایره به شعاع r است. قاعده ی دست راست به ما نشان می دهد که علامت جریان مثبت است، بنابراین، قانون آمپر به شکل زیر نوشته می شود:

(24-29)                                                                    

یا:

(25-29)                                                                        

چون B مثبت شد، ما می انیم که جهت صحیح B همان جهتی است که در شکل نشان داده شده است.

میدان مغناطیسی درون یک سیم مستقیم بلند حامل جریان

شکل 29-12 سطح مقطع یک سیم مستقیم بلند با شعاع R را نشان می دهد که حامل جریان یکنواخت i در جهت خارج از صفحه ی شکل است. چون جریان، در سطح مقطع سیم توزیع یکنواخت دارد، میدان مغناطیسی تولید شده توسط آن تقارن استوانه ای دارد. بنابراین برای یافتن میدان درون سیم می توانیم حلقه ی آمپری را دایره ای به شعاع r در نظر بگیریم. شکل. در این جا r<R است. تقارن به ما می گوید که B مماس بر حلقه است، بنابراین:

(26-29)                                                       

برای پیدا کردن سمت راست قانون آمپر، ما به این نکته توجه می کنیم که چون جریان یکنواخت است، جریان محصور در حلقه ی آمپری متناسب است با سطح محصور شده توسط حلقه:

(27-29)                                                                     

قاعده ی دست راست خاطر نشان می کند که علامت ienc مثبت است، بنابراین قانون آمپر به شکل زیر نوشته می شود:

(28-29)                                                                

یا:

(29-29)                                                                   

بنابراین میدان مغناطیسی درون سیم با r متناسب است. در مرکز صفر و در r=R بیشینه است.

 

سیملوله و پیچه ی چنبره ای

میدان مغناطیسی سیملوله

ما می توانیم میدان مغناطیسی تولید شده توسط سیم پیچ مارپیچی بلند و باریک، که سیملوله نامیده می شود (شکل29-13) را با استفاده از قانون آمپر بدست آوریم. ما فرض می کنیم که طول سیم لوله از قطر آن خیلی بزرگتر است. شکل 29-14، قسمتی از یک سیملوله ی کشیده شده را نشان می دهد. میدان مغناطیسی سیملوله، جمع برداری میدان های تولید شده توسط هر حلقه (هر دور)  تشکیل دهنده ی سیملوله است. در نزدیکی هر دور میدان مغناطیس شبیه به میدان در اطراف یک سیم مستقیم بلند است. با توجه به شکل متوجه می شویم که میدان در بین هر حلقه ی مجاور صفر می شود و برای نقاط درون سیملوله تقریبا موازی با محور مرکزی سیملوله است. در یک سیملوله ی ایده آل، که طول نامتناهی دارد و از دورهای نزدیک به هم تشکیل شده است، میدان مغناطیسی درون آن یکنواخت و موازی با محور سیملوله است. در سیملوله ی ایده آل با طول نامتناهی، میدان مغناطیسی در خارج از سیملوله صفر است. همچنین ما می توانیم میدان خارجی را در یک سیملوله ی واقعی که طول آن از قطرش خیلی بزرگتر است، صفر درنظر بگیریم، به شرطی که نقطه مورد نظر به دو انتهای سیملوله نزدیک نباشد.

 شکل 29-14، یک سیملوله ی کشیده شده و خطوط میدان مغناطیسی آن.

 

شکل 29-15، خطوط میدان را برای یک سیملوله ی واقعی نشان می دهد. می بینیم که میدان مغناطیسی درون سیملوله خیلی قویتر و یکنواخت تر از میدان در خارج از سیملوله است. حالا ما با به کاربردن قانون آمپر:

(30-29)                                                                

برای یک سیملوله ی ایده آل، شکل 29-16، جایی که B درون سیملوله یکنواخت و در خارج آن صفر است، با استفاده از حلقه ی آمپری مستطیل شکل abcda، می توانیم بنویسیم:

(31-29)                                

انتگرال اول در سمت راست معادله ی بالا برابر است با Bh. که در آن B بزرگی میدان مغناطیسی یکنواخت درون سیملوله و h طول اختیاری از a تا b است. انتگرال دوم و چهارم صفر هستند چون برای هر ds از این مسیرها، B عمود بر ds است یا صفر است. بنابراین حاصل ضرب B.ds صفر است. انتگرال سوم نیز صفر است چون مسیر در مکانی (خارج از سیملوله) قرار گرفته است که B=0 است. بنابراین حاصل انتگرال بالا روی کل حلقه برابر است Bh.

اگر جریان گذرنده سیملوله برابر i باشد و n تعداد دورهای بر واحد طول سیملوله باشد، حلقه شامل nh دور خواهد بود و بنابراین جریان خالص ienc محصور در حلقه ی آمپری برابر خواهد شد با:

(32-29)                                                                     

بنابراین، با استفاده از قانون آمپر خواهیم داشت:

(33-29)                                                                     

یا:

(34-29)                                                                       

با توجه به معادله ی بالا نتیجه می گیریم که میدان مغناطیسی درون سیملوله به قطر و طول سیملوله بستگی ندارد ومیدان برای تمام نقاط درون سیملوله یکنواخت است.

میدان مغناطیسی پیچه ی چنبره ای

شکل 29-17، یک پیچه ی چنبره ای را نشان می دهد، که ممکن است همانند یک سیملوله که خم شده و دو انتهایش به هم رسیده توصیف شود. (مانند یک دستبند توخالی). ما می توانیم میدان مغناطیسی را درون چنبره، با استفاده از قانون آمپر پیدا کنیم. با استفاده از تقارن، می بینیم که خطوط B دایره های هم مرکزی را درون پیچه تشکیل می دهند، که در شکل 29-17 (b) نشان داده شده است. اگر ما دایره ای به شعاع r را به عنوان حلقه ی آمپری انتخاب کنیم و در جهت ساعتگرد روی آن حرکت کنیم، قانون آمپر نتیجه می دهد:

(35-29)                                                                  

که در آن i جریان عبوری از پیچه و N تعداد کل دورهای پیچه است. بنابراین:

(36-29)                                                                      

برخلاف سیملوله، میدان مغناطیسی در سطح مقطع پیچه ثابت نیست. میدان مغناطیسی در نقاط خارج از یک پیچه ی ایده آل صفر است (پیچه ای که از یک سیملوله ی ایده آل ساخته شده). جهت میدان در داخل پیچه با استفاده از قاعده ی دست راست تعیین می شود؛ "اگر پیچه را طوری در دست رات بگیریم که انگشتان دست راستمان در جهت جریان در حلقه های پیچه خم شود، شست دست راست جهت میدان مغناطیسی را نشان می دهد."

                                   

شکل 29-17، (a) یک پیچه ی چنبره ای. (b) یک سطح مقطع افقی از پیچه ی چنبره ای.

 

سیم پیچ حامل جریان همانند یک دوقطبی مغناطیسی

قبلا دیدید که یک سیم پیچ اگر در یک میدان مغناطیسی خارجی قرار بگیرد، همانند یک دوقطبی مغناطیسی رفتار می کند، و گشتاور:

(37-29)                                                                       

به آن وارد می شود. در این جا μ گشتاور دوقطبی مغناطیسی سیم پیچ است و بزرگی برابر با NiA دارد (N تعداد دورهای سیم پیچ، i جریان در هر دور سیم پیچ، و A مساحت محصور شده توسط هر دور است). یادآوری می کنیم که جهت μ با استفاده از قاعده ی دست راست تعیین می شود؛ اگر پیچه را به گونه ای در دست راست بگیرید که جهت خم شدن چهار انگشت در جهت جریان باشد، شست دست راست جهت گشتاور دوقطبی را نشان می دهد.

میدان مغناطیسی سیم پیچ

برای پیدا کردن میدان مغناطیسی تولید شده توسط یک سیم پیچ در یک نقطه اطراف آن، باید از قانون بیو ساوار کمک بگیریم (چون مسئله از تقارن کافی برخوردار نیست و نمی توانیم اقانون آمپر استفاده کنیم). برای سادگی، ابتدا ما یک تک حلقه دایره ای با یک نقطه روی محور مرکزی آن (محور z ) را درنظر می گیریم. ما باید نشان دهیم که بزرگی میدان مغناطیسی در چنین نقطه ای برابر است با:

(38-29)                                                             

که در آن R شعاع حلقه دایره ای و z فاصله ی نقطه ی مورد نظر از مرکز حلقه است. به علاوه، جهت میدان مغناطیسی B در جهت گشتاور دو قطبی مغناطیسی μ حلقه است. برای نقاط روی محور و خیلی دور از حلقه، داریم z>>R . بنابراین با این تقریب برای معادله ی 29-38 خواهیم داشت:

(39-29)                                                                    

یادآوری می کنیم که πR2 مساحت سطح حلقه است، و برای سیم پیچی با N دور می توانیم بنویسیم:

(40-29)                                                                  

به علاوه، چون B و μ هم جهت هستند، و μ=NiA، ما می توانیم معادله ی بالا را به شکل برداری بنویسیم: 

(41-29)                                                                    

بنابراین، ما می توانیم به دو روش یک سیم پیچ حامل جریان را همانند دو قطبی مغناطیسی درنظر بگیریم؛ (1) هنگامی که در یک میدان خارجی قرار می گیرد، یک گشتاور به آن وارد می شود. (2) خود آن، یک میدان مغناطیسی ذاتی تولید می کند که روی محور مرکزی اش توسط معادله ی 29-38 داده می شود.

اثبات معادله ی

شکل 29-19، نیمه پشتی یک حلقه دایره ای به شعاع R ، حامل جریان i را نشان می دهد. نقطه ی P روی محور مرکزی حلقه و در فاصله ی z از مرکز آن قرار دارد. اجازه بدهید قانون بیو ساوار برای جزء دیفرانسیلی ds که درسمت چپ حلقه قرار دارد به کار ببریم. بردار طول ds عمود بر صفحه ی شکل و به طرف خارج است. زاویه ی  θبین ds و r در شکل 90˚|است. این دو بردار صفحه ای را تشکیل می دهند که بر صفحه ی شکل عمود است و شامل بردارهای ds و r است. با استفاده از قانون بیو ساوار (و قاعده ی دست راست) میدان dB تولید شده توسط جریان درون جزء طول ds در نقطه یP، عمود بر صفحه ی مورد نظر، و بنابراین عمود بر r و در صفحه ی شکل است.

اجازه بدهید dB را به دو مولفه تجزیه کنیم؛ dB|| در طول محور حلقه وdB  عمود بر محور حلقه. با استفاده از تقارن نتیجه می گیریم که حاصل جمع برداری همه ی مولفه های عمودی dB ناشی از اجزاء ds صفر است. بنابراین فقط مولفه های موازی  dB||باقی می مانند و ما خواهیم داشت:

(42-29)                                                                     

برای اجزاء ds در شکل قانون بیو ساوار به ما می گوید که بزرگی میدان در فاصله ی r برابر است با:

(43-29)                                                              

همچنین، داریم:

(44-29)                                                                  

با ترکیب دو معادله ی بالا خواهیم داشت:

(45-29)                                                              

شکل نشان می دهد که r و α به یکدیگر مربوط اند. اگر z فاصله ی بین نقطه ی P و مرکز حلقه باشد، می توانیم بنویسیم:

(46-29)                                                                    

و:

(47-29)                                                            

با قرار دادن معادلات 29-46 و 29-47 در معادله ی29-45، خواهیم داشت:

(48-29)                                                        

توجه داشته باشید که R، i و z برای تمام اجزاء ds مقادیر یکسانی دارد، بنابراین وقتی از این معادله انتگرال می گیریم، خواهیم داشت:

(49-29)                                                

چون مقدار انتگرال برابر است با 2πR (محیط حلقه) بنابراین:

(50-29)                                                             

که همان نتیجه ی مورد انتظار ماست.

 

 

 

 

شکل 29-1، جزء جریان - طول، یک میدان مغناطیسی دیفرانسیلی در نقطه ی P تولید می کند.

 

 

 

 

 

 

 

شکل 29-2، خطوط میدان مغناطیسی تولید شده توسط سیم حامل جریان.

 

 

 

شکل 28-3، براده های آهن که به شکل دایره های هم مرکزی در اطراف سیم حامل جریان قرار گرفته اند.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 29-5، محاسبه ی میدان مغناطیسی توسط جریان i در یک سیم مستقیم بلند.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 29-6، (a) یک سیم به شکل قوس دایره ای به مرکز c حامل جریان i و (b) برای هر جزء سیم در طول قوس، زاویه ی بین ds و r نود درجه است. (c) تعیین جهت میدان مغناطیسی در مرکز قوس .

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 29-7، دو سیم موازی حامل جریان هایی در یک جهت یکدیگر را جذب می کنند.

 

 

 

 

 شکل 29-8، (a) یک تفنگ ریلی. (b) با برقراری جریان، فیوز رسانا ذوب شده و یک میدان مغناطیسی درون سو به وجود می آورد و این میدان نیرویی به پرتابه وارد می آورد.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 29-9، به کار بردن قانون آمپر برای یک حلقه ی آمپری دلخواه. تنها جریان های درون حلقه آمپری در قانون آمپر درنظر گرفته می شود.

 

 

 شکل 29-10، قاعده ی دست راست برای قانون آمپر و تعیین علامت جریان درون حلقه ی آمپری.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 29-11، به کار بردن قانون آمپر برای تعیین میدان مغناطیسی در خارج از سیم مستقیم بلند حامل جریان i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 29-12، به کار بردن قانون آمپر برای تعیین میدان مغناطیسی در خارج از سیم مستقیم بلند حامل جریان i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 29-13، یک سیملوله حامل جریان i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 29-15، خطوط میدان مغناطیسی برای یک سیملوله ی واقعی با طول متناهی.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 29-16، به کاربردن  قانون آمپر برای قسمتی از یک سیملوله ی ایده آل نامتناهی.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 29-18، یک حلقه ی جریان خطوط میدانی شبیه به خطوط میدان مغناطیسی یک آهنربای میله ای تولید می کند.و استفاده از قاعده ی دست راست برای تععین جهت گشتاور دوقطبی مغناطیسی آن.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 29-19 سطح مقطع یک حلقه ی جریان به شعاع r و میدان مغناطیسی ناشی از آن در نقطه ی P.