مدارها  

 

شما توسط مدارهای الکتریکی محاصره شده اید.  شما ممکن است به تعداد وسیله ی های الکتریکی خود مباهات کنید و یا لیستی از وسایل الکتریکی مورد علاقه ی خود را در ذهن داشته باشید. هر یک از این وسیله ها، توسط مهندسی الکتریکی پیشرفته ای ساخته می شود، و اساس دانش مهندسی الکتریکی، فیزیک است. در این فصل ما بررسی به مدارهای الکتریکی که ترکیبی از مقاومت ها و باتری ها (و خازن هاست) و جریان مستقیم DC از آن می گذرد می پردازیم.

 

پمپ کردن بارها

اگر شما می خواهید حامل های بار را از یک مقاومت عبور دهید، باید بین دو انتهای وسیله یک اختلاف پتانسیل ایجاد کنید. یک روش برای انجام این کار اتصال دو انتهای مقاومت به یک خازن باردار است، که در این روش با تخلیه ی خازن شارش بار نیز متوقف می شود. برای تولید یک جریان پایدار از بارها، شما به یک "پمپ بار" احتیاج دارید، وسیله ای که با انجام کار روی حامل های بار اختلاف پتانسیل بین دو نقطه را ثابت نگه می دارد. ما چنین وسیله ای را چشمه ی نیروی محرک الکتریکی یا emf می نامیم. یک دستگاه emf رایج، باتری است، دستگاه emf دیگری که تاثیر زیادی در زندگی روزانه ما دارد، ژنراتور الکتریکی است. سلول های خورشیدی و پیل های سوختی، emf های دیگری هستند که در زندگی ما دیده می شود. اگر چه وسایلی که در بالا اشاره شد به مدل های گوناگونی دارند و به روش های متفاوتی کار می کنند، اما همه ی آن ها روی حامل های بار کار انجام می دهند و اختلاف پتانسیل بین پایانه های خود را ثابت نگه می دارند.

 

کار، انرژی، و emf

شکل 27-1، مداری شامل یک چشمه ی نیروی محرک الکتریکی (وسیله ی emf) و یک مقاومت را نشان می دهد. وقتی وسیله ی emf به مدار متصل نباشد، واکنش های شیمیای درون دستگاه نمی تواند هیچ جریانی از حامل های بار را در آن ایجاد کند. با اتصال وسیله ی emf به مدار، شکل27-1، جریانی از حامل های بار مثبت از پایانه ی مثبت به پایانه ی منفی در مدار ایجاد می شود. درون وسیله ی emf، حامل های بار مثبت از ناحیه ای با پتانسیل الکتریکی پایین تر (پایانه ی منفی) به ناحیه ای با پتانسیل الکتریکی بالاتر (پایانه ی مثبت) حرکت می کنند. در زمان dt، بار dq از هر سطح مقطع (مثل aaˊ) مدار عبور می کند. این مقدار بار باید درون وسیله ی emf از پتانسیل پایین تر به پتانسیل بالاتر برود، بنابراین وسیله  emf باید کار dW روی بار انجام دهد. ما نیروی محرکه القایی (emf) وسیله ی emf را به شکل زیر تعریف می کنیم:

(1-27)                                                                           

یکای emf در SI ژول بر کولن است، قبلا ما این یکا را ولت تعریف کردیم. یک وسیله emf ایده آل، وسیله ای است که در مقابل حرکت درونی بار ها از پایانه ای به پایانه ای دیگر مقاومت داخلی نداشته باشد، بنابراین اختلاف پتانسیل بین پایانه های چنین وسیله ای برابر است با emf وسیله.

یک وسیله ی emf واقعی، مانند باتری واقعی، در مقابل حرکت بارها مقاومت داخلی دارند. وقتی یک وسیله ی emf واقعی به مدار متصل نباشد، جریانی درون آن وجود ندارد و اختلاف پتانسیل بین پایانه ها برابر است با emf . به هر حال، وقتی وسیله به مدار متصل شود جریانی از آن خواهد گذشت و اختلاف پتانسیل دو سر پایانه های وسیله ی emf با  emf متفاوت خواهد بود.

 

محاسبه جریان در مدارهای تک حلقه ای

برای محاسبه جریان در مدارهای تک حلقه ای مانند شکل 27-3، از دو روش هم ارز استفاده می کنیم. یک روش بر پایه ی پایستگی انرژی و روش دیگر بر مفهوم پتانسیل استوار است. مدار شامل یک باتری ایده آل، یک مقاومت و دو سیم رابط (بدون مقاومت) است.

روش انرژی

معادله ی (P=i2R) به ما می گوید که در زمان dt ، مقدار انرژی P=i2R dt در مقاومت ظاهر می شود.( شکل27-3). در طی این بازه ی زمانی، بار dq=i dt از باتری عبور می کند. کار انجام شده توسط باتری روی این بار برابر است با:

(2-27)                                                                 

با استفاده از اصل پایستگی انرژی، کار انجام شده توسط باتری ایده آل برابر است با انرژی گرمایی ظاهر شده در مقاومت:

(3-27)                                                                      

بنابراین:

(4-27)                                                                             

این معادله به این معنی است که انرژی بر واحد بار منتقل شده به بارهای متحرک برابر است با انرژی بر واحد بار منتقل شده از آن ها. با حل این معادله برای i خواهیم داشت:

(5-27)                                                                              

روش پتانسیل

در هر حلقه کامل از  یک مدار چند حلقه ای: "جمع جبری تغییرات پتانسیل در گذر از هر حلقه ی کامل (بسته) یک مدار باید صفر باشد."

این قاعده، قاعده ی حلقه ی کیرشهوف (یا قانون ولتاژ کیرشهوف) نامیده می شود. برای مثال اگر ما در شکل27-3، از یک نقطه آغاز کنیم و به همان نقطه باز گردیم جمع جبری اختلاف پتانسیل هایی که با آن مواجه شدیم صفر خواهد شد.

در شکل 27-3، ما از نقطه ی a با اختلاف پتانسیل Va شروع کنیم و در جهت ساعتگرد روی مدار حرکت کنیم تا باز به نقطه ی a برگردیم، هنگامی که ما به باتری می رسیم باید از پایانه ی منفی به پایانه ی مثبت برویم، در طی این حرکت، تغییر پتانسیل برابر است با  +E . بعد از باتر ی با حرکت در طول سیم به انتهای بالایی مقاومت می رسم که پتانسیل بالاتری نسبت به انتهای پایینی آن دارد، هنگامی که از مقاومت عبور می کنیم تغییر پتانسیل با استفاده از رابطه ی V=iR بدست می آید. چون پتانسیل باید کاهش یابد (به دلیل حرکت از پتانسیل بالاتر به پتانسیل پایین تر)، بنابراین تغییر پتانسیل برابر است با iR . با گذشتن از مقاومت و حرکت در طول سیم بدون مقاومت به نقطه ی a باز می گردیم. چون ما درون یک حلقه ی بسته حرکت کردیم با استفاده از قاعده ی حلقه ی کیرشهوف می توانیم بنویسیم:

(6-27)                                                                       

چون مقدار Va در دو طرف تساوی یکسان است، خواهیم داشت:

(7-27)                                                                        

با حل این معادله برحسب i نتیجه می گیریم:

(8-27)                                                                             

که همان معادله ای است که با روش انرژی بدست آوردیم. اگر ما در جهت پادساعتگرد در مدار حرکت کنیم، با استفاده از قاعده ی حلقه ی کیرشهوف خواهیم داشت:

(9-27)                                                                        

که همان نتیجه قبلی را به ما می دهد. برای حلقه هایی که پیچیده تر از حلقه ی شکل هستند، ما می توانیم از دو قاعده زیر برای پیدا کردن اختلاف پتانسیل، درحالی که در مدار حرکت می کنیم، استفاده کنیم:

قاعده ی مقاومت: "اگر ما در جهت جریان از یک مقاومت عبور کنیم تغییر پتانسیل برابر است با iR و اگر در خلاف جهت جریان از یک مقاومت عبور کنیم، تغییر پتانسیل برابر است با +iR ."

 قاعده ی emf : "اگر ما از پایانه ی منفی به پایانه ی مثبت (یا در جهت فلش) یک وسیله ی emf حرکت کنیم تغییر پتانسیل برابر است با +E. و اگر از پایانه ی مثبت به پایانه ی منفی (درخلاف جهت فلش) آن حرکت کنیم تغییر پتانسیل برابر است با E"

 

مدار های تک حلقه ای

مقاومت داخلی

شکل 27-4 (a)، یک باتری واقعی، با مقاومت داخلی r را نشان می دهد که با سیم به مقاومت R متصل شده است. مقاومت داخلی باتری، ناشی از مقاومت الکتریکی مواد رسانای به کار رفته در باتری یک واقعیت غیر قابل حذف از باتری است. اگر در این حلقه، ما به صورت ساعتگرد از نقطه ی a شروع به حرکت کنیم، با استفاده از قاعده ی حلقه ی کیرشهوف خواهیم داشت:

(10-27)                                                                    

با حل این معادله برای جریان، می توانیم بنویسیم:

(11-27)                                                                        

شکل 27-4 (b)، به صورت نموداری تغییرات پتانسیل الکتریکی حلقه ی مدار شکل  27-4 (aرا نشان می دهد.

شکل 27-4 (a) یک مدار تک حلقه ای با باتری واقعی. (b) همان مدار که در یک خط قرار گرفته است.

 

مقاومت های متوالی

شکل 27-5 (a)، سه مقاومت را که به صورت متوالی به یک باتری ایده آل متصل شده اند را نشان می دهد. منظور از مقاومت های متوالی این است که مقاومت ها یکی پس از با سیم به هم متصل شده اند و اختلاف پتانسیل V بین دو انتهای ترکیب، به کار برده شده است. "هنگامی که اختلاف پتانسیل V بین دو انتهای ترکیب متوالی مقاومت ها به کار برده شود، جریان یکسان i از مقاومت ها می گذرد، و حاصل جمع اختلاف پتانسیل های دو انتهای مقاومت ها برابر است با اختلاف پتانسیل به کار رفته V در دو انتهای ترکیب."

ما می توانیم مقاومت های متصل شده به صورت متوالی را با یک مقاومت معادل Req جایگزین کنیم، که جریان یکسان i از آن می گذرد و اختلاف پتانسیل کل V در دو انتهای آن وجود دارد. شکل27-5 (b).

برای پیدا کردن عبارتی برای Req در شکل 27-5 (b)، ما قاعده ی حلقه را برای هر دو مدار به کار می بریم. در مدار شکل 27-5 (a)خواهیم داشت:

(12-27)                                                              

یا:

(13-27)                                                                   

و در مدار شکل  27-5 (bمی توانیم بنویسیم:

(14-27)                                                                      

(15-27)                                                                           

با مقایسه ی دو معادله ی 27-15 و  27-13 نتیجه می گیریم که:

(16-27)                                                               

با بسط این معادله برای n مقاومت که به صورت متوالی به یکدیگر متصل شده اند خواهیم داشت:

(17-27)                                                                      

توجه داشته باشید که در ترکیب متوالی مقاومت ها، مقاومت معادل همیشه از تک تک مقاومت ها بزرگتر است.

 

اختلاف پتانسیل بین دو نقطه

ما بیشتر اوقات می خواهیم اختلاف پتانسیل بین دو نقطه در یک مدار را پیدا کنیم. برای مثال در شکل اختلاف پتانسیل VbVa بین دو نقطه ی a و b چقدراست؟ برای پاسخ به این پرسش ما می توانیم به صورت ساعتگرد درون مدار از نقطه ی a به نقطه ی b حرکت کنیم. در این صورت ما می توانیم بنویسیم:

(18-27)                                                                  

یا:

(19-27)                                                                  

برای ارزیابی این عبارت، باید جریان i را تعیین کنیم. با توجه به شکل 27-6 جریان در این مدار با استفاده از معادله ی 27-13 داده می شود:

(20-27)                                                                        

با قرار دادن این معادله در معادله ی 27-19خواهیم داشت:

(21-27)                                                    

با استفاده از اطلاعات داده شده توسط شکل 27-6 نتیجه می گیریم:

(22-27)                                               

حالا فرض کنید که ما در جهت پادساعتگرد از نقطه ی a به نقطه ی b حرکت می کنیم. در این صورت ما از مقاومت R عبور خواهیم کرد و چون در خلاف جهت جریان از مقاومت R می کنیم، می توانیم بنویسیم:

(23-27)                                                                      

یا:

(24-27)                                                                      

با استفاده از معادله ی 27-20 برای i و اطلاعات درج شده در شکل 27-6 خواهیم داشت:

(25-27)                                                                     

بنابراین در هر دو حالت نتیجه ی یکسانی گرفتیم. به طور کلی: برای پیدا کردن اختلاف پتانسیل بین دو نقطه در مدار، از یک نقطه شروع کرده و مدار را از آن نقطه به نقطه ی دیگر می پیمایم و حاصل جمع جبری تغییرات پتانسیل را محاسبه می کنیم.

اختلاف پتانسیل دو سر باتری واقعی:

در شکل 27-6، نقاط a و b در دو پایانه ی باتری قرار گرفته اند. بنابراین اختلاف پتانسیل VbVa اختلاف پتانسیل دو سر باتری است. اگر اختلاف پتانسل دو سر باتری را با V نشان دهیم خواهیم داشت:

(26-27)                                                                        

اگر مقاومت داخلی باتری صفر باشد، با توجه به معادله ی بالا، اختلاف پتانسیل دو سر باتری برابر است با emf باتری:

(27-27)                                                                            

اگر مقاومت داخلی باتری صفر نباشد. معادله ی به ما می گوید که V کوچکتر از E است و به مقدار جریان عبوری از باتری بستگی دارد.

مدار متصل به زمین

شکل 27-7 (a) مداری مشابه شکل 27-6 را نشان می دهد که در یک نقطه به طور مستقیم به زمین متصل شده است. چنین اتصالی به این معنی است که فقط در نقطه ی اتصال حلقه با زمین پتانسیل صفر است. بنابراین در شکل 27-7 (a) پتانسیل در نقطه ی a به صورت Va=0 تعریف می شود، و با استفاده از معادله ی27-25 پتانسیل نقطه ی b برابر است با Vb=8.0V.

در مدار شکل 27-7 (b)، نقطه ی b به طور مستقیم به زمین متصل شده است. در این شکل پتانسیل در نقطه ی b به صورت Vb=0 تعریف می شود، و با استفاده از معادله ی 27-25 پتانسیل نقطه ی a برابر است با Va=–8.0V.

                                             

شکل 27-7، (a) نقطه ی a به طور مستقیم به زمین متصل شده است. (b) نقطه ی b به طور مستقیم به زمین متصل شده است.

 

توان، پتانسیل، و emf

وقتی یک باتری یا انواع دیگر وسائل emf، روی حامل های بار کار انجام می دهد، انرژی را از منبع خودش (مانند منبع شیمیایی در باتری) به حامل های بار منتقل می کند. چون یک وسیله ی emf واقعی مقاومت داخلی دارد، انرژی را همچنین به صورت انرژی گرمایی درونی (اتلاف توسط مقاومت) منتقل می کند. آهنگ خالص انرژی منتقل شده از وسیله ی emf به حامل های بار برابر است با:

(29-27)                                                                          

که در آن V اختلاف پتانسیل بین دو پایانه ی وسیله ی emf است. با استفاده از معادله ی 27-26 می توانیم بنویسیم:

(30-27)                                                          

با توجه به معادله ی بالا نتیجه می گیریم که جمله ی i2r ، آهنگ انتقال انرژی به انرژی گرمایی درون وسیله ی emf است:

(31-27)                                                                        

بنابراین جمله ی iE در معادله ی 27-30 باید بیانگر آهنگ انرژی منتقل شده توسط وسیله ی emf به حامل های بار و به انرژی گرمایی درونی باشد. بنابراین:

(32-27)                                                                        

 

 

مدار های چند حلقه ای

شکل 27-8، مداری را با دو حلقه نشان می دهد، برای سادگی باتری ها ایده آل درنظر گرفته شده اند. با توجه به شکل، دو پیوندگاه در مدار وجود دارد، در b و d ، و سه شاخه به این پیوندگاه ها متصل شده است. ما به طور دلخواه جریان های عبوری از هر شاخه را نام گذاری می کنیم و جهت این جریان ها را نیز به طور دلخواه انتخاب می کنیم. شکل.

در پیوندگاه d، بار ها توسط جریان های i1 و i3 وارد پیوندگاه می شوند و توسط جریان i2 از آن خارج می شوند. باتوجه به پایستگی بار، جریان کل ورودی به پیوندگاه باید با جریان کل خروجی از پیوندگاه برابر باشد:

(33-27)                                                                      

با به کار گیری همین شرایط برای پیوندگاه b نیز معادله ی 27-33 بدست می آید. بنابراین معادله ی 27-33 یک اصل کلی را پیشنهاد می کند:

"قاعده ی پیوندگاه: جمع جریان های وارد شده به پیوندگاه باید با جمع جریان های خارج شده از پیوندگاه برابر باشد."

این قاعده، قاعده ی پیوندگاه کیرشهوف (قانون جریان کیرشهوف) نامیده می شود. این قاعده بیانگر پایستگی بار برای جریان های پایدار بار است. بنابراین ابزار اصلی ما برای حل مدارهای پیچیده، قاعده ی حلقه (بر مبنای پایستگی انرژی) و قاعده ی پیوندگاه (بر مبتای پایستگی بار) خواهد بود.

معادله ی 27-33، یک تک معادله با سه مجهول است. برای حل کامل مدار ما به دو معادله ی دیگر با مجهول های یکسان نیاز داریم. ما می توانیم این معادلات را با به کار گیری قاعده ی حلقه برای دو حلقه متفاوت بدست آوریم. اگر حلقه ی سمت چپ شکل را در جهت پادساعتگرد از نقطه ی b دور بزنیم، خواهیم داشت:

(34-27)                                                               

و اگر حلقه ی سمت راست شکل را در جهت پادساعتگرد از نقطه ی b دور بزنیم، خواهیم داشت:

(35-27)                                                              

حالا ما سه معادله با سه مجهول (جرایان های  i1، i2و i3) داریم.، که با روش های گوناگونی قابل حل است.

اگر ما قاعده ی حلقه ی را برای حلقه ی بزرگ به کار ببریم، خواهیم داشت:

(36-27)                                                         

که جمع دو معادله ی 27-34 و 27-35 است.

مقاومت های موازی

شکل 27-9 (a) سه مقاومت را نشان می دهد که به صورت موازی به یک باتری ایده آل متصل شده اند. یک طرف مقاومت ها به طور مستقیم با سیم به هم متصل شده، طرف دیگر نیز به همین شکل، و اختلاف پتانسیل V به دو طرف مقاومت ها متصل شده است. بنابراین هر سه مقاومت اختلاف پتانسیل یکسانی و برابر با V خواهند داشت. به طور کلی:

"وقتی که اختلاف پتانسیل V برای ترکیب موازی مقاومت های به کاربرده شود، تمام مقاومت ها دارای اختلاف پتانسیل یکسان V هستند."

و با توجه به شکل 27-9 (b) "ما می توانیم مقاومت های متصل شده به صورت موازی را با یک مقاومت معادل Req جایگزین کنیم، که اختلاف پتانسیل Vبین دو انتهای آن وجود دارد و جریان کل i از آن عبور می کند."

برای پیدا کردن عبارتی برای Req در شکل 27-9 (b)، ما ابتدا جریان را در هر مقاومت می نویسیم:

(37-27)                                                        

که در آن V اختلاف پتانسیل بین a و b است. با استفاده از قاعده ی پیوندگاه در نقطه ی a، می توانیم بنویسیم:

(38-27)                                                 

اگر ما ترکیب موازی مقاومت ها را با مقاومت معادل جایگزین کنیم، خواهیم داشت:

(39-27)                                                                          

با مقایسه ی دو معادله ی 27-38 و 27-39 نتیجه می گیریم که:

(40-27)                                                              

با بسط این معادله برای n مقاومت که به صورت موازی به یکدیگر متصل شده اند، خواهیم داشت:

(41-27)                                                                       

توجه داشته باشید که در ترکیب مقاومت ها به صورت موازی، همیشه مقاومت معادل از کوچکترین مقاومت نیز کوچکتر است.

 

جریان سنج و ولت سنج

وسیله ای که برای اندازه گیری جریان استفاده می شود، جریان سنج نامیده می شود. برای اندازه گیری جریان درون یک سیم، شما باید سیم را قطع کنید و جریان سنج را در مسیر جریان قرار دهید تا بتوانید جریان عبوری از جریان سنج را اندازه بگیرید. (در شکل27-10، جریان سنج A نشان داده شده است). لازم است که مقاومت جریان سنج RA از مقاومت های دیگر مدار خیلی کوچکتر باشد. در غیر این صورت، حضور جریان سنج، جریانی را که باید اندازه گیری شود تغییر خواهد دارد.

وسیله ای که برای اندازه گیری اختلاف پتانسیل به کار می رود، ولت سنج نامیده می شود. برای پیدا کردن اختلاف پتانسیل بین دو نقطه در مدار، پایانه های ولت سنج (بدون قطع کردن یا بریدن سیم) به آن دو نقطه متصل می شود. (در شکل 27-10، ولت سنج V نشان داده شده است). لازم است که مقاومت RV ولت سنج، از مقاومت اجزاء دیگر مدار خیلی بزرگتر باشد. در غیر این صورت، خود ولت سنج یکی از اجزاء مدار شده و اختلاف پتانسیلی که باید اندازه گیری شود را تغییر خواهد داد.

 

مدارهای RC

جریان هایی که تا کنون در اینجا بررسی شده اند، جریان های یکنواخت بوده اند. هنگامی که خازنی را در یک مدار قرار می دهیم، در دوره ای که خازن در حال بارگیری یا باردهی است، جریان به صورت تابعی از زمان تغییر می کند.

بارگیری خازن

خازنی با ظرفیت C در شکل 27-11، در ابتدا بدون بار است. برای باردار کردن خازن، ما باید کلید S را در حالت a قرار دهیم. در این صورت مدار RC متوالی تشکیل شده از خازن، مقاومت و باتری ایده آل تکمیل خواهد شد.

به محض اینکه مدار کامل می شود، بارها شروع به حرکت به بین صفحه های خازن و پایانه های باتری می کنند. جریان، بار روی خازن را افزایش می دهد و اختلاف پتانسیل VC بین دو صفحه ی خازن را بوجود می آورد. وقتی اختلاف پتانسیل دو سر خازن با اختلاف پتانسیل باتری برابر شود، جریان صفر می شود، و بار نهایی روی خازن کامل باردار برابر CE می شود.

با به کار گیری قاعده ی حلقه برای مدار شکل 27-11، می توانیم بنویسیم:

(42-27)                                                                    

که جمله ی آخر در سمت چپ تساوی بیانگر اختلاف پتانسیل بین دو سر خازن است. معادله ی بالا شامل دو متغییر i و q است. به هر حال، این دو متغییر از یکدیگر مستقل نیستند:

(43-27)                                                                            

با قرار دادن i از معادله ی بالا در معادله ی 27-42 خواهیم داشت:

(44-27)                                                                      

این معادله دیفرانسیل تغییرات زمانی بار q روی خازن شکل 27-11را نشان می دهد. با حل این معادله و به کار گیری شرایط اولیه یq=0 درt =0 خواهیم داشت:

(45-27)                                                               

که در آن e پایه نمایی برابر با 2.718… است (دقت کنید که بار بنادی نیست). توجه داشته باشید که هنگامی که t به بینهایت میل کند، جمله ی e-t/RC صفر می شود و بار خازن در این حالت برابر می شود با CE . نمودار q بر حسب زمان در شکل نشان داده شده است. با استفاده از عبارت بدست آمده برای q جریان گذرنده از مدار برابر است با:

(46-27)                                                              

نمودار i برای فرایند بارگیری خازن در شکل 27-12(a) نشان داده شده است. با ترکیب معادله ی q=CV و معادله ی 27-45، اختلاف پتانسیل خازن در حین فرایند بارگیری برابر است با:

(47-27)                                                           

این معادله به ما می گوید؛ VC= 0 در t = 0 وهمچنین VC = Eهنگامی که خازن کاملا باردار شد درV→∞.

ثابت زمانی

حاصل ضرب RC در معادلات بالا، دارای بعد زمان است. (چون توان تابع نمایی باید بدون بعد باشد). حاصل ضرب RC ثابت زمانی خازن نامیده می شود و با نماد τ نشان داده می شود:

(48-27)                                                                          

با توجه به معادله ی 27-45 ما می بینیم که در زمان t=τ ، بار خازن بدون بار از صفر به مقدار زیر افزایش می یابد:

(49-27)                                                       

به عبارت دیگر در اولین ثابت زمانی بار از مقدار صفر به 63% مقدار نهایی خود می رسد.

باردهی خازن

فرض کنید که حالا خازن شکل 27-11، کاملا باردار شده است، و اختلاف پتانسیل V0 برابر با  Eبین صفحه های آن برقرار است. در زمان جدید t=0 کلید S از حالت a به حالت b چرخانده می شود. در این حالت خازن توسط مقاومت R تخلیه می شود. برای بررسی چگونگی تغییرات q و i با زمان در حین فرایند باردهی خازن، قاعده ی حلقه را برای مدار تشکیل شده از خازن و مقاومت به کار می بریم. چون باتری در این مدار وجود ندارد، خواهیم داشت:

(50-27)                                                                      

با حل این معادله داریم:

(51-27)                                                                      

که در آن q0=CV0 بار اولیه ی خازن است. معادله ی 27-51 به ما می گوید که q به صورت نمایی با زمان تغییر می کند. بعد از گذشت یک ثابت زمانی τ=RC بار خازن به مقدار q0e-1 یا 37% بار اولیه خازن کاهش پیدا می کند. توجه داشته باشید که τ بزرگتر به معنی زمان تخلیه بزرگتر است. با دیفرانسیل گیری نسبت به زمان از معادله ی 27-51 خواهیم داشت:

(52-27)                                                            

که به ما می گوید؛ جریان نیز به صورت نمایی با زمان کاهش می یابد و در نهایت هنگامی که خازن کاملا تخلی شد به صفر می رسد. علامت منفی در معادله ی بالا می تواند نادیده گرفته شود، و فقط به معنی این است که خازن در حال باردهی است. شکل 27-12 (b).

استخراج معادله ی

برای حل معادله ی 27-42، ابتدا آن را به شکل زیر می نویسیم:

(53-27)                                                                      

حل کلی این گونه معادلات دیفرانسیل به شکل زیر است.( با جابه جا کردن متغییر ها و انتگرال گیری می توانید بدست آورید):

(54-27)                                                                   

که در آن qP جواب ویژه معادله ی دیفرانسیل و K یک ثابت است که از شرایط اولیه تعیین می شود، و a=1/RC ضریب q در معادله ی 27-53، است. برای پیدا کردن  qP ما در معادله ی 27-53، قرار dq/dt=0 می دهیم (متناظر با شرایط نهایی)، اجازه بدهید q=qp و با حل معادله 27-53 خواهیم داشت:

(55-27)                                                                         

برای تعیین K ، ابتدا مقدار qPرا در معادله 27-54 قرار می دهیم:

(56-27)                                                                  

سپس با استفاده از شرایط اولیه ی q=0 در t=0 خواهیم داشت:

(57-27)                                                                      

یا  K=-CE ، سرانجام با قرار دادن مقادیر qP ، a و K خواهیم داشت:

(58-27)                                                               

شکل 27-1، یک مدار ساده ی الکتریکی 

 

 

شکل 27-2، (a) در مدارE B >A  بنابراین جریان در جهت نشان داده شده برقرار می شود. (b) انرژی منتقل شده در مدار.

 

 

 

 

 

 

شکل 27-3، یک مدار تک حلقه ای با مقاومت R و emf ایده آل.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 27-5، (a) سه مقاومت که به صورت متوالی به یکدیگر متصل به یک باتری متصل شده است. (b) مدار معادل با شکل (a). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 27-6، نقاط a و b در پایانه های یک باتری واقعی قرار دارند.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  شکل 27-8، یک مدار چند حلقه ای تشکیل شده از سه شاخه.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 27-9، (a) سه مقاوت به شکل موازی به یک باتری متصل شده اند. (b) مدار معادل با شکل (a).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 27-10 چگونگی اتصال جریان سنج و ولت سنج به مدار، 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 27-11، وقتی کلید S به حالت a می رود، خازن بارگیری می شود و وقتی درحالت b قرار می گیرد خازن تخلیه می شود.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 27-12، (a) نمودار بارگیری خازن با زمان. (b) نمودار تخلیه ی خازن با زمان.