قانون گاوس  

 

یکی از هدف های اولیه ی فیزیک پیداکردن روش های ساده برای حل ظاهرا مسائل پیچیده است. یکی از لبزارهای مهم فیزیک برای دست یابی به این هدف استفاده از تقارن است. برای مثال برای توزیع بار های شامل تقارن، ما می توانیم با استفاده از قانون گاوس (فیزیکدان و ریاضیدان آلمانی کارل فردریک گاوس 1777-1855) میدان الکتریکی را با انجام محاسبات کمتر بدست آوریم. قانون گاوس به جای توجه به میدان الکتریکی جزء بار، یک سطح بسته ی فرضی دور توزیع بار را درنظر می گیرد. این سطح بسته سطح گاوسی نامیده می شود و می تواند هر شکلی داشته باشد، اما شکلی که محاسبات را کمتر می کند، شکلی است که تقارن توزیع بار را تقلید می کند. شکل 23-1،در این فصل ما با استفاده از واقعیت که:

 "قانون گاوس میدان الکتریکی در یک نقطه روی سطح گاوسی بسته را به بار خالص محصورشده درون سطح مربوط می کند."

به بررسی میدان های الکتریکی روی یک سطح بسته می پردازیم.

شکل 23-1،یک سطح گوسی کروی

 

شار الکتریکی

برای تعریف شار میدان الکتریکی، به شکل 23-2، که یک سطح گاوسی دلخواه را در یک میدان الکتریکی نشان می دهد توجه کنید. ما سطح گاوسی را به مربع های کوچکی به مساحت ΔA تقسیم کنیم (مربع ها آنقدر کوچک اند که مسطح درنظر گرفته می شوند)، و هر جزء سطح را با بردار سطح ΔA ، که برداری است عمود بر سطح گاوسی به طرف خارج سطح و بزرگی برابر با مساحت سطح، نمایش می دهیم. چون مربع ها به اندازه ی کافی کوچک هستند میدان الکتریکی E در آن ها ثابت است و شار گذرنده از سطح گاوسی شکل به صورت زیر تعریف می شود:

(1-23)                                                                     

که بیانگر حاصل جمع شارگذرنده از تک تک مربع های تشکیل دهنده ی سطح گاوسی است. مقدار شار گذرنده از هر مربع ممکن است منفی، مثبت یا صفر باشد. اگر مساحت مربع ها کوچک و کوچکتر شوند و به حد دیفرانسیلی dA برسند، شار گذرنده از سطح گاوسی را می توانیم به صورت زیر تعریف کنیم:

(2-23)                                                                      

علامت حلقه در انتگرال بالا به معنی انتگرال گیری روی سطح بسته است. یکای شار الکتریکی نیوتون-متر مربع بر کولن است. با توجه به معادله ی بالا شار الکتریکی عبوری از یک سطح با تعداد خالص خطوط میدان های الکتریکی عبوری از سطح متناسب است.

 

قانون گاوس

قانون گاوس، شار خالص یک میدان الکتریکی عبوری از یک سطح بسته را به بار خالص qenc محصور در سطح مربوط می کند:

(3-23)                                                                       

با استفاده از تعریف شار الکتریکی، قانون گاوس به شکل زیر نوشته می شود:

(4-23)                                                                  

معادله ی 23-4 فقط وقتی اعتبار دارد که بار خالص در خلا قرار داشته باشد. بار خالص حاصل جمع جبری همه ی بارهای مثبت و منفی محصور درون سطح است و ممکن است مثبت، منفی یا صفر شود. اگر بار خالص مثبت باشد، شار خالص به طرف خارج سطح (برون سو) است. اگر بار خالص منفی باشد، شار خالص به طرف داخل سطح است (درون سو). شکل 23-3، دو بار نقطه ای برابر و با علامت مخالف (ناهمنام) و چهار سطح گاوسی S1، S2،S3 و S4 را نشان می دهد، در:

سطح S1: میدان الکتریکی به طرف خارج از سطح (برون سو) و بنابراین شار الکتریکی مثبت است.

سطح S2: میدان الکتریکی به طرف داخل سطح (درون سو) و بنابراین شار الکتریکی منفی است.

سطح S3: در داخل این سطح بار الکتریکی وجود ندارد و طبق قانون گاوس، شار خالص عبوری از آن صفر است. مطابق شکل تمام خطوط میدان که از بالای سطح وارد شدند از پایین سطح خارج می شوند.

سطح S4: در داخل این سطح بار خالص الکتریکی صفر است. چون مقدار دو بار برابر و علامت آن ها مخالف هم است. وجود ندارد و طبق قانون گاوس، شار خالص عبوری از آن صفر است. مطابق شکل تمام خوط میدان که از بالای سطح خارج می شوند از پایین وارد سطح گوسی می شوند.

قانون گاوس و قانون کولن

شکل 23-4، بار نقطه ای مثبت q را درون یک سطح گاوسی به شکل کره به شعاع r نشان می دهد. ما سطح گوسی را به سطوح جزئی dA تقسیم می کنیم. بردار سطح dA در هر نقطه عمود بر سطح کره و به طرف خارج سطح است. با توجه به تقادن مسئله اگر بار در مرکز کره باشد، میدان الکتریکی در هر نقطه روی سطح کره مقدار یکسانی دارد و عمود بر سطح کره است. با استفاده از قانون گاوس می توانیم بنویسیم:

(5-23)                                                        

چون انتگرال گیری روی سطح کره انجام می شد و مقدار میدان الکتریکی روی سطح کره ثابت است، E از داخل انتگرال بیرون می آید:

(6-23)                                                                     

انتگرال بیانگر مساحت سطج کره ای به شعاع r است، با استفاده از مساحت سطح کره (4πr2) خواهیم داشت:

(7-23)                                                                    

که همان معادله ی است که با استفاده از قانون کولن بدست آوردیم.

 

رسانای منزوی باردار

قانون گاوس به ما اجازه می دهد تا قضیه ای مهم درباره ی رساناها را اثبات کنیم:

"اگر بار اضافی روی یک رسانای منزوی قرار داده شود، بار به طرف سطح بیرونی رسانا حرکت می کند. به عبارت دیگر، بار اضافی درون جسم رسانا دیده نمی شود."

شکل 23-5 (a)، یک قطعه ی منزوی از جنس مس را نشان می دهد که بار اضافی q دارد. ما سطح گاوسی را درون رسانا و نزدیک به سطح خارجی رسانا درنظر می گیریم. با توجه به اینکه میدان الکتریکی درون رسانا باید صفر باشد E=0، اگر اینگونه نباشد میدان الکتریکی به الکترون های آزاد درون رسانا نیرو وارد کرده و باعث ایجاد جریان الکتریکی در رسانا می شود. با استفاده از قانون گاوس (چونE=0) مقدار بار درون سطح گوسی برابر با صفر می شود. بنابراین بارهای اضافه شده به رسانا خیلی سریع به گونه ای توزیع می شوند که میدان الکتریکی خالص داخلی صفر شود. سپس حرکت بارها متوقف می شود، چون نیروی خالص وارد شده به آن ها صفر است. دراین حالت بار ها در تعادل الکترواستاتیکی قرار می گیرند.

رسانای منزوی با حفره

شکل 23-5 (b)، رسانای آویزانی را با یک حفره درون آن نشان می دهد. ما یک سطح گوسی اطراف حفره، نزدیک به سطح و داخل رسانا درنظر می گیریم. چون درون رسانا E=0  است، شار الکتریکی نمی تواند درون سطح گاوسی ما وجود داشته باشد. بنابراین با توجه به قانون گاوس درون سطح مورد نظر بار خالص الکتریکی وجود ندارد و بار خالصی روی دیواره های حفره قرار نمی گیرد.

میدان الکتریکی خارجی

دیدم که بار اضافی روی سطح خارجی رسانا توزیع می شود. به هر حال، برای رساناهای غیر کروی بار به طور یکنواخت توزیع نمی شود و چگالی بار سطحی σ برای رساناهای غیر کروی از ثابت نیست. به طور کلی این تغییرات چگالی بار سطحی، یافتن میدان الکتریکی تولید شده توسط سطوح باردار را دشوار می کند.

به هر حال، برای پیدا کردن میدان الکتریکی در خارج از سطح رسانای باردار با استفاده از قانون گوس، ما سطح را به اندازه ی کافی کوچک درنظر می گیریم تا دیگر انحنایی نداشته باشد و سطح تخت درنظر گرفته شود. شکل 23-6. با توجه به شکل 23-6 (b)، ما سطح گوسی را به صورت استوانه ای کوچک عمود بر سطح رسانا درنظر می گیریم که نیمی از آن درون رسانا و نیم دیگر آن خارج از رسانا است. چون میدان الکتریکی درون رسانا صفر است از نیمه ی سطح گوسی استوانه ای شکل که درون رسانا قرار دارد هیچ شاری نمی گذرد و فقط از انتهای بیرونی استوانه شار عبور می کند. ما فرض می کنیم که مساحت قاعده ی استوانه برابر با A باشد، چون A به اندازه ی کافی کوچک است، میدان الکتریکی E درون آن ثابت است، بنابراین شاری که از درون آن عبور می کند برابر است با EA. بار محصور شده درون سطح گاوسی برابر است با مقدار با موجود در سطح رسانا به مساحت A ، یا σA. بنابراین با استفاده از قانون گاوس خواهیم داشت:

(8-23)                                                                      

یا:

(9-23)                                                                           

بنابراین بزرگی میدان الکتریکی در بیرون رسانا متناسب است با چگالی سطحی بار رسانا.

 

به کاربردن قانون گاوس: تقارن استوانه ای

شکل 23-7، یک قسمت از میله ی بینهایت بلند با بار یکنواخت مثبت با چگالی λ را نشان می دهد. برای پیدا کردن بزرگی میدان الکتریکی در نقطه ای به فاصله ی r از محور میله، سطح گاوسی را با توجه به تقارن مسئله استوانه ای به شعاع r ، طول h و هم محور با میله درنظر می گیریم. در قاعده های استوانه چون بردار سطح عمود بر جهت میدان الکتریکی است، هیج شاری از قاعده ها نمی گذرد، و چون بزرگی میدان الکتریکی روی سطح جانبی استوانه ثابت است و جهت آن با بردار سطح جانبی استوانه موازی است، شار عبوری از سطح جانبی (و سطح گوسی) برابر است با:

(10-23)                                            

که در آن جمله ی داخل پرانتز مساحت سطح جانبی استوانه است. بنابراین با استفاده از قانون گاوس می توانیم بنویسیم:

(11-23)                                                                 

که در آن λh مقدار بار موجود درون سطح گاوسی است.

بنابراین بزرگی میدان الکتریکی در فاصله ی r از میله ی باردار یکنواخت برابر است با:

(12-23)                                                                      

جهت E به صورت شعاعی و به طرف خارج از خط بار مثبت و برای خط بار منفی به طرف داخل است. معادله ی بالا همچنین به طور تقریبی میدان ناشی از یک خط باردار متناهی در نقاطی که خیلی به دو انتهای آن نزدیک نباشد را بیان می کند.

 

به کاربردن قانون گاوس: تقارن مسطح

ورقه ی نارسانا

شکل23-8،  قسمتی از یک ورقه نارسانا نازک و نامتناهی با بار یکنواخت مثبت به چگالی σ را نشان می دهد. برای پیدا کردن میدان الکتریکی در فاصله ی r از ورقه، ما یک سطح گاوسی استوانه ای انتخاب می کنیم به طوری نیمی هز استوانه در یک طرف روقه و نیم دیگر آن در طرف دیگر باشد، شکل 23-8 (b)، با توجه به تقارن مسئله، میدان الکتریکی عمود بر سطح ورقه است. بنابراین شار عبوری از قسمت جانبی استوانه صفر است و اگر مساحت قاعده ی استوانه برابر با A باشد، شار عبوری از هر قاعده ی استوانه برابر با EA و شار عبوری از کل سطح گوسی برابر با EA+EA است. با استفاده از قانون گاوس می توانیم بنویسیم:

(13-23)                                                              

که در آن σA بار محصور در سطح گوسی است.بنابراین میدان الکتریکی تولید شده توسط ورقه نارسانای نامتناهی برابر است با:

(14-23)                                                                        

این نتیجه برای هر نقطه ای در یک فاصله متناهی از ورقه معتبر است.

دو صفحه ی رسانا

شکل23-9 (a)، قسمتی از یک صفحه ی نامتناهی رسانا با بار اضافی مثبت را نشان می دهد. با توجه به مطالب گفته شده می دانیم که بار اضافی روی سطح رسانا قرار می گیرد و چون صفحه تخت و نازک است بار به طور یکنواخت با چگالی σ1 روی دو وجه رسانا قرار می گیرد. اگر میدان الکتریکی خارجی وجود نداشته باشد بزرگی میدان الکترکی تولید شده توسط ای صفحه برابر است با E=σ1/ɛ0و چون بار اضافیمثبت است، جهت میدان به سمت خارج از صفحه ی رساناست. شکل23-9 (b) صفحه ی مشابه را نشان می دهد با این تفاوت که بار اضافی موجود روی آن منفی است. بنابراین جهت میدان الکتریکی در آن به طرف صفحه رساناست. حالا اگر این دو صفحه را در حالتی که با هم موازی هستند به یکدیگر نزدیک کنیم. شکل23-9 (c). چون دو صفحه رسانا هستند، چینش بار ها ی اضافی در دو صفحه تغییر می کند و به علت نیروی ربایش بین بارهای ناهمنام به طرف وجه داخلی صفحات در شکل حرکت می کنند. بنابراین مقدار بار در هر وجه دو برابر حالت قبل خواهد شد و چگالی سطحی بار جدید σ در هر وجه دو برابر σ1 می شود. بدین ترتیب میدان الکتریکی در هر نقطه بین دو صفحه برابر است با:

(15-23)                                                                  

جهت این میدان از صفحه ای با بار مثبت به طرف صفحه ای با بار منفی است. از آن جایی که باری در وجه بیرونی صفحات وجود ندارد، میدان الکتریکی در سمت چپ و راست صفحات برابر صفر است.

 

شکل 23-9، (a) یک رسانای نازک با بار اضافی مثبت. (b) یک رسانای نازک با بار اضافی منفی (c) دو صفحه به صورت موازی در نزدیکی یکدیگر قرار داده می شوند.

 

به کار بردن قانون گاوس: تقارن کروی

در این جا ما با استفاده از قانون گوس اثبات خواهیم کرد که:

"یک پوسته کروی با بار یکنواخت به ذره ی بارداری که در بیرون پوسته کروی قرار دارد به صورتی نیروی جاذبه یا دافعه وارد می کند که گویی همه ی بار پوسته در مرکز آن متمرکز شده است."

و "اگر ذره بارداری درون یک پوسته ی کروی با بار یکنواخت قرار بگیرد، نیروی خالص الکترواستاتیکی از طرف ذره به پوسته وارد نمی شود."

شکل 23-10یک پوسته ی کروی با شعاع R و بار q و دو سطح گاوسی کروی S1 و S2 را نشان می دهد. با به کار گیری قانون گاوس برای سطح S2 جایی که rR، خواهیم داشت:

(16-23)                                                                     

این میدان، مشابه میدان الکتریکی تولید شده توسط یک بار نقطه ای q است. که قضیه اول را اثبات می کند.

با به کار بردن قانون گاوس برای سطح  جایی S1 که  (r<R)، خواهیم داشت:

(17-23)                                                                          

چون درون سطح گاوسی باری وجود ندارد، بنابراین اگر باری درون سطح گاوسی قرار گیرد نیروی خالص الکترواستاتیکی از طرف پوسته به آن وارد نمی شود. که قضیه دوم را اثبات می کند.

حالا یک توزیع متقارن کروی بار با چگالی حجمی بار ρ، مانند شکل 23-11را درنظر بگیرید. در شکل23-11 (a)کل بار درون سطح گوسی کروی به شعاع r>R قرار گرفته، بنابراین میدان الکتریکی تولید شده روی سطح گاوسی در این حالت مانند حالتی است که کل بار در مرکز کره متمرکز شده باشد. معادله ی .

شکل 23-9 (bسطح گاوسی را به شعاع r<R نشان می دهد. میدان الکتریکی روی سطح گوسی در این حالت ناشی از بار قرار گرفته درون سطح گوسی است، اگر مقدار بار درون سطح گوسی برابر qˊ باشد، میدان الکتریکی روی سطح گوسی برابر خواهد بود با:

(18-23)                                                                     

اگر کل بار یکنواخت q درون شعاع R قرار داشته باشد. و qˊ بار قرار گرفته درون شعاع r باشد، با یک تناسب ساده می توانیم بنویسیم:

(19-23)                                                                   

یا:

(20-23)                                                                      

بنابراین میدان الکتریکی برابر است با:

(21-23)                                                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 23-2، یک سطح گوسی دلخواه در یک میدان الکتریکی. سطح به مربع های کوچکی به مساحت  ΔA تقسیم شده است.

 

 

 

 

 

شکل 23-3، دو بار نقطه ای با بار یکسان اما علامت مخالف، خطوط میدان و چهار سطح گوسی اختیاری.

 

 

 

شکل 23-4، یک سطح گوسی کروی با مرکز بار نقطه ای q.

 

 

 

 

 

 

 شکل 23-5، (a) یک قطعه ی مسی منزوی باردار. (b) همان قطعه با یک حفره درون آن.

 

 

 

 

 

 

 شکل 23-6، (a) بخشی کوچکی از یک رسانای منزوی با بار مثبت در سطح آن و سطح گوسی به شکل یک استوانه. (b) نمای جانبی شکل (a).

 

 

 

شکل 23-7، سطح گوسی به شکل یک استوانه ی بسته اطراف یک میله ی مستقیم و بلند که به صورت یکنواخت با بار مثبت باردار شده است.

 

 

 

 

 شکل 23-8، (a) بخشی کوچکی از یک ورقه ی پلاستیکی بسیار بزرگ با بار مثبت در سطح آن و سطح گوسی به شکل یک استوانه. (b) نمای جانبی شکل (a).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 23-10، یک بار یکنواخت نازک به صورت پوسته ی کروی با بار کل q.

 

 شکل 23-11، یک توزیع بار یکنواخت با تقارن کروی (a) سطح گوسی در خارج از توزیع بار. (b) سطح گوسی در داخل توزیع بار.