میدان های الکتریکی  

 

در فصل قبل در باره ی نیروی الکترومغناطیسی که ذرات باردار به یکدیگر وارد می کنند صحبت شد، اما سوال اینجاست که این نیروها چگونه به ذرات وارد می شوند و ذره ی 1از کجا می داند ذره ی 2 کجاست تا به آن نیرو وارد کند. در حالی که ذرات با هم تماسی ندارند. این سوال ها با در نظر گرفتن میدان الکتریکی در اطراف بارها، پاسخ داده می شود. به طوری که هر بار الکتریکی در اطراف خود میدان الکتریکی به وجود می آورد، هنگامی که بار الکتریکی دیگری در این میدان قرار گیرد به آن نیرو وارد می شود.

 

میدان الکتریکی

دما در هر نقطه اتاق یک مقدار مشخص را دارد. ما می توانیم دما در هر نقطه را اندازه بگیریم و نتایج توزیع دما را به صورت میدان دما بیان کنیم. به روشی مشابه می توانیم، یک میدان فشار که متناسب با اندازه ی فشار در هر نقطه است تعریف کنیم. این دو مثال میدان های اسکالر هستند، چون دما و فشار کمیت هایی اسکالر هستند.

میدان الکتریکی، یک میدان برداری است؛ که از توزیع بردارها برای نقاط اطراف یک شیء باردار تشکیل شده است. برای تعریف میدان الکتریکی، ابتدا بار مثبت را که بار آزمون می نامیم در یک نقطه قرار می دهیم و نیروی F وارد بر آن را اندازه می گیریم. سرانجام میدان الکتریکی E در آن نقطه برابر است با:

(1-22)                                                                         

طبق تعریف، جهت میدان الکتریکی همان جهت نیروی وارد شده به بار مثبت آزمون است (شکل22-1). یکای میدان الکتریکی در SI نیوتون بر کولن است.

 

خطوط میدان الکتریکی

مایکل فارادی، ایده ی میدان الکتریکی را در قرن 19 مطرح کرد، او تصور کرد که فضای اطراف جسم باردار با خطوط نیرو پر شده است، امروزه معمولا خطوط میدان الکتریکی نامیده می شود. با استفاده از این خطوط می توانیم الگوی میدان های الکتریکی را تصور کنیم. شکل22-2 خطوط میدان الکتریکی را برای کره ای با بار یکنواخت منفی و شکل 22-3، خطوط میدان الکتریکی را برای دو صفحه موازی با باردار یکنواخت نشان می دهد.

 به طور خلاصه خواص خطوط میدان الکتریکی به شرح زیر است:

1. خطوط میدان الکتریکی همیشه از بار مثبت خارج و به بار مثبت وارد می شود

2. تعداد خطوطی که از بار الکتریکی خارج یا به آن وارد می شود، با بزرگی بار متناسب است.

3. جهت میدان در هر نقطه در امتداد مماس بر خطوط میدان الکتریکی است.

4. شدت میدان متناسب با چگالی خطوط نیرو، یعنی تعداد خطوط گذرنده از واحد سطح عمود بر میدان است.

5. خطوط نیرو هرگز همدیگر را قطع نمی کنند.

شکل 22-4 و شکل 22-5 خواص خطوط میدان الکتریکی را به خوبی نشان می دهند.

 

شکل 22-3، (a) نیروی الکترواستاتیکی وارد بر با آزمون مثبت در نزدیکی صفحه ای که به صورت یکنواخت با بار مثبت باردار شده است. (b) بردار  میدان الکتریکی روی خطوط میدان قرار دارد. (c) خطوط میدان از نمای جانب.

 

میدان الکتریکی بار نقطه ای

برای پیدا کردن میدان الکتریکی بار نقطه ای q (ذره باردار) در هر نقطه به فاصله r از آن، بار آزمون مثبت q0 را در آن نقطه قرار می دهیم. با استفاده از قانون کولن نیروی وارد بر بار آزمون برابر است با:

(2-22)                                                                   

با توجه به تعریف میدان الکتریکی، برای بار نقطه ای می توانیم بنویسیم:

(3-22)                                                               

اگر q مثبت باشد، جهت میدان الکتریکی به طرف خارج بار و اگر q منفی باشد، جهت میدان الکتریکی به طرف داخل بار است. شکل 22-6، بردار میدان الکترکی را در نقاط مختلف نشان می دهد. اکر بیشتر از یک بار نقطه ای داشته باشیم، نیروی خالص وارد شده به بار آزمون از طرف n بار نقطه ای برابر است با:

(4-22)                                                   

با استفاده از معادله ی 22-1، میدان الکتریکی خالص وارد شده به بار آزمون برابر است با:

                                                   

(5-22)                                                      

که در آن Ei میدان الکتریکی ناشی از بار i ام به تنهایی است. معادله ی 22-5، بیانگر این است که میدان های الکتریکی مانند نیروی های الکتریکی از اصل برهم نهی پیروی می کنند.  

 

 

شکل 22-6، بردارهای میدان الکتریکی در نقاط مختلف در اطراف یک بار مثبت نقطه ای.

 

میدان الکتریکی دوقطبی الکتریکی

شکل 22-7، دو بار نقطه ای با بزرگی q ، اما علامت مخالف، که در فاصله ی d از هم قرار گرفته اند را نشان می دهد. این پیکربندی یک دوقطبی الکتریکی نامیده می شود. برای پیدا کردن میدان الکتریکی در نقطه ی P به فاصله ی z از مرکز دوقطبی و روی محور خط واصل دو بار (محور دوقطبی)، می توانیم بنویسیم:

                                               

(6-22)                    

که در آن E(+) میدان الکتریکی ناشی از بار +q و E(-)  میدان الکتریکی ناشی از بار q در نقطه P است. بعد از کمی محاسبات ریاضی خواهیم داشت:

(7-22)                                              

با مرتب کردن معادله ی بالا می توان بنویسیم:

(8-22)                                   

معمولا ما میدان الکتریکی را در فاصله ی های که خیلی از ابعاد دو قطبی بزرگتر است بررسی می کنیم. در این صورت خواهیم داشت z>> d . در چنین فاصله ای می توانیم بنویسیم d/2z << 1. و می توانیمd/2z  را از معادله ی بالا حذف کنیم:

(9-22)                                                                    

حاصل ضرب qd در معادله ی22-9، گشتاور دوقطبی الکتریکی p نامیده می شود، بنابراین ما می توانیم معادله ی 22-9، را به صورت زیر بنویسیم:

(10-22)                                                                   

جهت p از بار منفی به طرف بار مثبت است (شکل 22-7 (b)). و با استفاده از آن جهت گیری دوقطبی تعیین می شود. اگر چه معادله ی 22-10، میدان الکتریکی روی محور دوقطبی را تعیین می کند ولی می توان نتیجه گرفت که میدان الکتریکی دو قطبی در هر نقطه ای با فاصلهr از دو قطبی با 1/r3 متناسب است.  

 

میدان الکتریکی حلقه ی باردار

هنگامی که ما با توزیع پیوسته ی بار سروکار داریم معمولا از واژه ی چگالی بار استفاده می کنیم. برای یک خط باردار از چگالی بار خطی λ ( بار بر واحد طول) و یکای کولن بر متر استفاده می کنیم. برای یک سطح باردار از چگالی بار سطحی σ ( بار بر واحد سطح) و یکای کولن بر مترمربع استفاده می کنیم. برای یک حجم باردار از چگالی بار حجمی  ρ ( بار بر واحد حجم) و یکای کولن بر مترمکعب استفاده می کنیم. (جدول 22-1).

شکل 22-8، حلقه ای به شعاع R با بار مثبت یکنواخت به چگالی λ را نشان می دهد. برای پیدا کردن میدان الکتریکی ناشی از این توزیع بار در نقطه ی P به فاصله ی z از مرکز حلقه و در امتداد محور مرکزی آن، ابتدا حلقه را به اجزاء کوچکی با طول (قوس) ds تقسیم می کنیم. بار هر جزء برابر است با:

(11-22)                                                                     

میدان الکتریکی ناشی از جزء طول ds در نقطه ی P برابر است با:

(12-22)                                                      

با توجه به شکل می توانیم بنویسیم:

(13-22)                                                          

میدان الکتریکی dE را می توانیم به دو مولفه، یکی عمود بر محور و دیگری در امتداد محور تجزیه کنیم. با توجه به تقارن حلقه، مولفه های عمود با محور یکدیگر را حذف می کنند، و فقط مولفه های موازی با محور باقی می مانند. بزرگی مولفه های موازی dE برابر است با dE cos θ. با توجه به شکل:

(14-22)                                                       

بنابراین مولفه موازی میدان برابر است با:

(15-22)                                                

میدان کل را با انتگرال گیری از تمامی اجزاء روی حلقه به دست می آوریم:

(16-22)                 

از آن جایی λ که بار بر واحد طول است جمله ی λ(2πR) در معادله ی بالا برابر است با بار کلحلقهq . پس می توانیم بنویسیم:

(17-22)                                                          

برای نقاط خیلی دور از مرکز حلقه z >> R، جمله ی z2+R2 در معادله ی تقریبا برابر است با z2، بنابراین میدان در چنین نقاطی برابر است با:

(18-22)                                                                   

که همان میدان ناشی از بار نقطه ای q است. میدان الکتریکی در مرکز حلقه (z = 0) با توجه به معادله ی 22-17، صفر خواهد شد، که این یک نتیجه ی منطقی است چون اگر بار آزمون را در مرکز حلقه قرار دهیم نیروی الکترواستاتیکی خالص وارد شده به آن صفر است.

 

میدان الکتریکی قرص باردار

شکل 22-9، قرص دایره ای نارسانایی به شعاع R و چگالی بار سطحی σ (چگالی یکنواخت) را نشان می دهد. برای پیدا کردن میدان الکتریکی در نقطه ی P به فاصله ی z از مرکز قرص و در امتداد محور مرکزی قرص، قرص را به حلقه های تختی با شعاع r و پهنای dr تقسیم می کنیم. از آن جایی که  σ بار بر واحد حجم است مقدار بار هر حلقه برابر است با:

(19-22)                                                         

که در آن dA مساحت حلقه است. میدان الکتریکی جزئی dE ناشی از هر یک از این حلقه ها با توجه به معادله ی برابر است با:

(20-22)                                                        

یا:

(21-22)                                                        

ما می توانیم میدان الکتریکی کل را با اتگرال گیری از معادله ی بالا روی سطح قرص بدست آوریم:

 

(23-22)                                      

برای حل این انتگرال ما قرار می دهیم X=(z2+r2)  و dX=(2r)dr تا انتگرال را به شکل زیر تبدیل کنیم:

(24-22)                                                               

 

بنابراین خواهیم داشت:

(25-22)                                                       

 

(26-22)                                                        

 

اگر R→∞ در حالی که z متناهی است. جمله ی دوم در پرانتز معادله ی 22-6 صفر می شود و معادله 22-6 تبدیلی می شود به:

(27-22)                                                                      

که میدان الکتریکی تولید شده توسط یک صفحه ی نامتناهی با بار یکنواخت را نشان می دهد.

 

بار نقطه ای در میدان الکتریکی

هنگامی که یک ذره  باردار درون میدان الکتریکی E قرار می گیرد. نیروی الکترواستاتیکی زیر به ذره باردار وارد می شود:

(27-22)                                                                      

که در آن q بار بار ذره و E میدان الکگتریکی ناشی از بارهای دیگر است. این میدان، میدان تولید شده توسط خود ذره نیست و معمولا میدان خارجی نامیده می شود. به عبارت دیگر یک ذره ی باردار تحت تاثیر میدان الکتریکی خودش قرار نمی گیرد.

اندازه گیری بار

فیزیکدان آمریکایی، رابرت میلیکان با استفاده از معادله ی 22-27، روشی برای اندازه گیری یک بار الکتریکی دلخواه پیدا کرد. شکل 22-10، دستگاه میلیکان را نشان می دهد. وقتی قطرات روغن به اتاقک A اسپری می شود. تعدادی از آن ها باردار می شوند (مثبت و منفی). مطابق شکل اگر کلید s بسته شود یک میدان الکتریکی درون اتاقک C به طرف پایین ایجاد می شود. هنگامی که قطرات روغن باردار از داخل سوراخ کوچک روی صفحه ی P1 وارد اتاقک C می شوند اگر کلید s بسته باشد حرکتشان تحت تاثیر نیروی وارد شده از طرف میدان الکتریکی (معادله ی 22-27) قرار می گیرد. با زمان گیری حرکت قطرات روغن در حالتی که کلید s باز است و مقایسه آن با حالتی که کلید s بسته است می توان بار قطرات روغن را محاسبه کرد. میلیکان کشف کرد که مقدار q توسط رابطه ی زیر داده می شود:

(28-22)                                                

که در آن e ثابت بنیادی است که بار بنیادی نامیده می شود.

 

دوقطبی درمیدان الکتریکی

قبلا اشاره شد که گشتاور دو قطبی الکتریکی p یک دو قطبی برداری از بار منفی به طرف بار مثبت است. رفتار یک دوقطبی الکتریکی در یک میدان الکتریکی یکنواخت را می توان کاملا با استفاده از بردارهای  Eو p ، بدون نیاز به دانستن جزئیات ساختار دو قطبی توصیف کرد.

برای مثال مولکول آب (H2O) یک دوقطبی الکتریکی است شکل 22-11. برای مولکول آب گشتاور دوقطبی برایند را از جمع برداری دو گشتاور دوقطبی به دست می آوریم. رفتار مولکول آب در میدان الکتریکی یکنواخت را می توان با استفاده از گشتاور دو قطبی آن توصیف کرد. برای بررسی رفتار یک دوقطبی در میدان الکتریکی یکنواخت شکل 22-12، فرض می کنیم که دوقطبی ساختار صلب دارد و از دو بار ناهمنام q که در فاصله ی d از هم قرار دارند ساخته شده است و گشتاور دوقطبی الکتریکی p  با میدان الکتریکی زاویه ی θ می سازد. نیروی الکترواستاتیکی (F = qE) وارد شده روی بارها باعث ایجاد یک گشتاور خالص حول مرکز جرم دو قطبی می شود. شکل. مرکز جرم در فاصله ی x از یکی از بار ها و d-x از بار دیگرقرار دارد. بزرگی گشتاور خالص حول مرکز جرم برابر است با:

(29-22)                                           

با استفاده از qE برای F می توانیم بنویسیم:

(30-22)                                                                  

به عبارت دیگر در اینجا ما گشتاور خالص را بر حسب گشتاور دوقطبی الکتریکی نوشتیم. به طور کلی این معادله به شکل برداری برابر است با:

(31-22)                                                                     

جهت گشتاور با توجه به قاعده دست راست تعیین می شود. شکل 22-12 (b).

(32-22)                                                                  

انرژی پتانسیل دوقطبی الکتریکی

انرژی پتانسیل به جهت گیری دوقطبی الکتریکی در یک میدان الکتریکی بستگی دارد. هنگامی که گشتاور p در جهت میدان باشد، انرژی پتانسیل دوقطبی حداقل مقدار خود را دارد در این حالت گشتاور خالص حول مرکز جرم دوقطبی برابر صفر است. ما دوقطبی را می توانیم شبیه به یک آونگ درنظر بگیریم که حول راستای میدان نوسان می کند. چرخش دوقطبی در میدان الکتریکی مستلزم انجام دادن کار است. با توجه به تعریف انرژی پتانسیل ما می توانیم یک سطح با پتانسیل صفر درنظر بگیریم و اختلاف پتانسیل را نسبت به آن بسنجیم. اگر ما انرژی پتانسیل دوقطبی را زمانی که θ در شکل 22-12، 90° است برابر با صفر درنظر بگیریم، می توانیم انرژی پتانسیل U دوقطبی را در هر زاویه ای دیگری از θ با محاسبه کاری که میدان الکتریکی برای چرخش دوقطبی به اندازه ی زاویه θ از حالت 90° انجام می دهد محاسبه کرد. بنابراین انرژی پتانسیل در زاویه ی θ برابراست با:

(33-22)                                            

با انتگرال گیری خواهیم داشت:

(34-22)                                                                

شکل برداری این معادله برابر است با:

(35-22)                                                                     

معادله ی 22-35، نشان می دهد که کمینه انرژی پتانسیل برابر است با U = -pE (هنگامی که θ = 0) و بیشینه انرژی پتانسیل برابر است با      U = pE (هنگامی که θ = 180°). وقتی دوقطبی از یک جهت گیری اولیه به جهت گیری نهایی می چرخد، کار انجام شده توسط میدان الکتریکی روی دوقطبی برابر است با:

(36-22)                                                       

اگر چرخش توسط یک گشتاور خارجی انجام شود. کار انجام شده توسط گشتاور خارجی روی دوقطبی برابر با منفی کار انجام شده توسط میدان الکتریکی است:

(37-22)                                                        

 

شکل 22-1،(a) نیروی وارد بر بار مثبت آزمون در نزدیکی میله ی باردار. (b) میدان الکتریکی ناشی از میله ی باردار در نقطه ی P.

 

شکل 22-2،(a) نیروی الکترواستاتیکی وارد بر با آزمون مثبت در نزدیکی کره ای که به صورت یکنواخت با بار منفی باردار شده است. (b) بردار  میدان الکتریکی روی خطوط میدان قرار دارد.

 

 

شکل 22-4،خطوط میدان الکتریکی برای دو بار نقطه ای مثبت. میدان الکتریکی در هر نقطه مماس بر خطوط میدان است.

 

شکل 22-5، خطوط میدان الکتریکی برای دو بار نقطه ای ناهمنام. میدان الکتریکی در  هر نقطه مماس بر خطوط میدان است.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 22-7، (a) یک دوقطبی الکتریکی متشکل از دو بار نقطه ای ناهمنام که در فاصله ی d از هم قرار دارند. (b) جهت بردار گشتاور دوقطبی الکتریکی از بار منفی به سمت بار مثبت است.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

جدول 22-1، یکاهای اندازه گیری بار الکتریکی

 

 

 

 

شکل 22-8، مولفه های میدان الکتریکی در نقطه ی P روی محور مرکزی یک حلقه ی دایره ای با بار یکنواخت مثبت. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 22-9، میدان الکتریکی در نقطه ی P روی محور مرکزی یک قرص دایره ای با بار یکنواخت مثبت.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 22-10، دستگاه میلیکان برای اندازه گیری بار.

 

 

 

 

 

 

 

شکل 22-11، یک مولکول آب با گشتاور دوقطبی p.

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 22-12، (a) نیروهای وارد بر یک دوقطبی الکتریکی در یک میدان الکتریکی یکنواخت. (b) جهت گشتاور وارد بر دوقطبی الکتریکی درونسو است (به سمت داخل صفحه ی شکل).