موج ها II 

 

موج های صوتی

در فصل قبل گفتیم که، موج های مکانیکی برای انتشار به محیط مادی نیاز دارند. و به طورکلی دو نوع موج مکانیکی وجود دارد: موج های عرضی و موج های طولی. در این قسمت در مورد موج های صوتی که در تقسیم بندی ما در ردیف موج های طولی قرار می گیرد، صحبت می کنیم. شکل 17-1 موج صوتی را نشان می دهد که در تمام جهات منتشر می شود. نزدیک چشمه ی صوت جبهه ی های موج کروی هستند و در سه بعد منتشر می شوند. با حرکت جبهه موج به طرف جلو شعاع آن بزرگتر و بزرگتر شده و انحنای آن کمتر می شود و ما می توانیم تقریبا به صورت موج تخت در نظر بگیریم.

 

سرعت صوت

سرعت یک موج مکانیکی به خصوصیات لختی و کشسانی محیط انتشار بستگی دارد:

(1-17)                                                                          

سرعت موج های صوتی نیز به خصوصیات لختی و کشسانی محیط انتشار بستگی دارد. برای پیدا کردن سرعت صوت با استفاده از قانون دوم نیوتون، یک تپ موج فشار که با سرعت v در لوله ای پر از هوا به جلو حرکت می کند را درنظر می گیریم. با انتخاب چارچوب مرجع متصل به تپ فشار که با سرعت v به راست حرکت می کند تپ موج از دید ما ساکن است. (شکل 17-2). فشار هوای درون لوله p  و فشار درون تپ موج برابر با p+Δp است، که در آن Δp مثبت است.

شکل 17-2، (a) یک تپ فشار درون استوانه پر از هوا که از راست به چپ فرستاده می شود، چارچوب مرجع طوری انتخاب می شود که تپ نسبت به آن ساکن باشد و هوا اطراف به سمت راست حرکت می کند. (b) جزء هوا که با تپ مواجه می شود.

 

اکنون یک جزء از هوا به طول Δx و مساحت سطح A درنظر می گیریم که با سرعت v به به جلو حرکت می کند. هنگامی که این قسمت جلوی جزء وارد تپ می شود، با یک ناحیه ی با فشار بالا برخورد می کند و سرعتش کاهش می یابد. سرعت جزء درون تپ برابر است با v+Δv که در آنΔv منفی است. این کند شدن زمانی کامل می شود که قسمت عقبی جزء وارد تپ شود، که به زمان زیر نیاز دارد:

(2-17)                                                                         

در بازه ی زمانی Δt، نیروی متوسط pA به سمت راست و نیروی ( p+Δp)A به سمت چپ جزء وارد می شود. بنابراین متوسط نیروی خالص وارد شده بر جزء برابر است با:

(3-17)                                                       

علامت منفی نیرو بیانگر این است که جهت نیروی برایند به سمت چپ است. جرم این جزء برابر است با:

(4-17)                                                     

و شتاب متوسط جزء در بازه ی زمانی Δt:

(5-17)                                                                          

با استفاده از قانون دوم نیوتون (F=ma) خواهیم داشت:

(6-17)                                                               

که آن را به صورت زیر می توان نوشت:

(7-17)                                                                   

از آن جایی که:

(8-17)                                                               

می توانیم بنویسیم:

(9-17)                                                     

که در آن B مدول بالک است. بنابراین سرعت صوت برابر است با:

(10-17)                                                                        

 

موج های صوت رونده

شکل 17-3، یک موج رونده را نشان می دهد که درون لوله ای پر از هوا به سمت راست حرکت می کند. این موج توسط حرکت سینوسی یک پیستون در طرف چپ لوله تولید شده است. یک جزء هوا به ضخامت Δx در نظر بگیرید، شکل 17-3 (b). هنگامی که موج از این بخش لوله عبور می کند، جزء هوا به سمت چپ و راست نوسان می کند. بنابراین نوسان هر جزء از هوا به علت عبور موج صوتی مانند نوسان جزء ریسمان است. تفاوت این دو نوسان این است که جزء هوا به صورت طولی نوسان می کند (در مقایسه با نوسان عرضی جزء ریسمان). بنابراین ما می توانیم جابه جایی s(x,t) را برای یک موج صوتی (طولی) به صورت معادله ی زیر بیان کنیم:

(11-17)                                                          

که در آن sm دامنه ی جابه جایی است. در یک موج متحرک، فشار در هر نقطه ی x به صورت سینوسی تغییر می کند. برای توصیف این تغییرات می توانیم بنویسیم:

(12-17)                                                       

مقدار منفیΔp با انبساط و مقدار مثبت آن با تراکم هوا متناظر است و کمیت Δpm دامنه ی فشار نام دارد و مقدار آن برابر است با:

 

(13-17)                                                                 

شکل 17-3، (a) یک موج صوتی که در طول لوله ی پر از هوا با سرعت v به سمت راست حرکت می کند. (b) جزء هوا که حول مکان تعادل، نوسان هماهنگ ساده به چپ و راست انجام می دهد. 

 

اثبات معادله 17-13

یک جزء نوسان کننده از هوا به ضخامت Δx و سطح مقطعA درنظر بگیرید که به اندازه ی s از وضع تعادلش جابه جا شده. شکل17-3 (b). تغییرات فشار جزء جابه جا شده برابر است با:

(14-17)                                                                    

ما می توانیم حجم و تغییرات حجم جزء هوا را به صورت زیر بنویسیم:

(15-17)                                                                       

(16-17)                                                                      

بنابراین، می توانیم بنویسیم:

(17-17)                                                            

با مشتق گیری جزئی s نسبت به x خواهیم داشت:

(18-17)                                 

که نتیجه می دهد:

(19-17)                                                         

که در آن دامنه ی فشار برابر است با:

(20-17)                                                      

 

تداخل

مثل موج های عرضی، موج های صوتی نیز می تواند با هم تداخل کنند. برای بررسی این موضوع تداخل بین دو موج صوتی که در یک جهت منتشر شده اند را درنظر بگیرید. شکل 17-5. دو چشمه موج S1 و  S2 هم فازاند. (طول موج یکسان دارند). بنابراین اگر دو موج برای رسیدن به نقطه ی P مسیری با طول یکسان را طی کنند، در آن جا هم فاز خواهند بود و تداخل سازنده انجام می دهند. به هر حال در شکل 17-5 (a)، دو مسیر، طول های متفاوت L1 و L2 را دارند و اختلاف فاز در نقطه ی P بستگی به اختلاف طول مسیر دارد. برای مربوط کردن اختلاف فاز به اختلاف طول مسیر، می توانیم بنویسیم:

(21-17)                                                                       

یا:

(22-17)                                                                      

تداخل کاملا سازند وقتی رخ می دهد که اختلاف فاز برابر با صفر، یا 2π حاصل ضرب هر عدد صحیح در 2π باشد:

(23-17)                                                       

به عبارت دیگر باید داشته باشیم:

(24-17)                                                                   

و برای تداخل کاملا ویرانگر اختلاف فاز برابر است با:

(25-17)                                                    

یا:

(26-17)                                                             

 

شدت و شدت نسبی صوت

شدتI موج صوتی در یک سطح برابر است با متوسط آهنگ انرژی منتقل شده توسط موج (به داخل سطح) بر واحد سطح، و به صورت زیر نوشته می شود:

(27-17)                                                                          

که در آن P آهنگ زمانی انتقال انرژی (توان) و A مساحت سطحی است که موج از آن عبور می کند. ارتباط شدت صوت با دامنه ی جابه جایی به صورت زیر داده می شود:

(28-17)                                                                   

تغییر شدت صوت با فاصله

چگونگی تغییرات شدت با فاصله ی یک صوت واقعی بیشتر اوقات پیچیده است. برای مثال چشمه صوت واقعی ممکن است صوت را در یک جهت مشخص منتشر کنند، و معمولا محیط انتشار اکو تولید می کند که با موج صوت اصلی تداخل می کند. در اینجا ما فرض می کنیم که چشمه ی صوت نقطه ای است و هیچ اکویی وجود ندارد. بنابراین شدت در تمام جهات یکسان پراکنده می شود و انرژی مکانیکی موج صوتی پایسته می ماند. بنابراین با این فرضیات شدت صوت در نقطه ای به فاصله ی r از چشمه  ی صوت برابر است با:

(29-17)                                                                       

که در آن 4πr2 مساحت سطح کره ای بهشعاع r و Ps توان چشمه است.

مقیاس دسی بل

دامنه ی جابه جایی در گوش انسان از حدود 10-5m برای آستانه ی درد ناکی تا 10-11m برای آستانه ی شنوایی است. چون شدت صوت با مربع دامنه تغییر می کند، نسبت شدت صوت در دو محدوده ی شنوایی انسان1012 است. ما می توانیم یک چنین محدوده ی عظیمی از مقادیر را با استفاده از مفهوم لگاریتم (توابع نمایی) بیان کنیم:

(30-17)                                                                      

که در آن x و y متغییر های ما هستند. بنابراین ما می توانیم شدت نسبی احساس صوت را بر حسب مقیاس دسی بل بیان کنیم:

(31-17)                                                                

که در آن I0=10-12W/m2 شدت صوت در آستانه ی شنوایی است.

اثبات معادله ی 17-28

با توجه به شکل، یک قطعه ی کوچک از هوا به ضخامت dx و جرم dm درنظر می گیریم که به جلو و عقب نوسان می کند. انرژی جنبشی این قطعه برابر است با:

(32-17)                                                                   

که در آن vs سرعت نوسان جزء هوا است:

(33-17)                                                      

بنابراین می توانیم بنویسیم:

(34-17)                                             

با تقسیم دو طرف تساوی معادله ی بالا بر dtو توجه به این نکته که dx/dt سرعت موج است، خواهیم داشت:

(35-17)                                                 

متوسط آهنگ انتقال انرژی جنبشی برابر است با:

(36-17)                              

با فرض اینکه انرژی پتانسیل نیز با آهنگ یکسانی توسط موج حمل می شود، خواهیم داشت:

(37-17)                                                  

 

موج ایستاده در یک لوله

الگوی های موج صوتی ایجاد شده درون لوله ای پر از هوا شبیه به ریسمان کشیده است. بسته بودن انتهای لوله، متناظر است با ثابت شدن انتهای ریسمان (گره). و باز بودن انتهای لوله متناظر است با آزاد بودن انتهای ریسمان (شکم). الگوی امواج ایستاده درون یک لوله هوا با دو انتهای باز در شکل 17-18، نشان داده شده است. مشاهده می کنیم که در دو انتهای لوله شکم وجود دارد. الگوی شکل 17-8 مد اصلی یا اولین هماهنگ نامیده می شود. برای این حالت اگر طول لوله برابر با L باشد، طول موج صوت برابر است با λ=2L. شکل یک سری از هماهنگ ها را برای طول موج های مختلف نشان می دهد.

 

شکل 17- 8، (a) الگوی موج استاده برای موج صوتی در لوله ای که دو انتهای آن باز است. (b) الگوی موج متناظر با آن برای موج طولی در ریسمان کشیده. 

 

به طور کلی فرکانس تشدید برای لوله ای با طول  Lو دو انتهای باز متناظر است باطول موج های:

(38-17)                                                            

که در آن n ، عدد هماهنگ نامیده می شود. اگر v سرعت صوت باشد، فرکانس تشدید برابر است با:

(39-17)                                                        

شکل 17-9 (b)، الگوی های موج صوتی ایستاده ای را که درون لوله ای که فقط یک انتهای آن باز است نشان می دهد. به طور کلی فرکانس تشدید برای لوله ای با طول  Lو فقط یک انتهای باز متناظر است باطول موج های:

(40-17)                                                          

که در آن عدد هماهنگ n باید فرد باشد. اگر v سرعت صوت باشد، فرکانس تشدید برابر است با:

(41-17)                                                        

 

زنش (ضربان)

زنش از برهم نهی دو موج با دامنه ی یکسان ولی بسامد اندکی متفاوت ایجاد می شود. دامنه ی موج حاصل به طور متفاوتی تغییر می کند و وضعیت امواج متناوبا بین تداخل سازنده و ویرانگر تغییر می کند (شکل 17-10). تغییرات زمانی جابه جایی دو موج با دامنه ی sm به شکل زیر داده می شود:

(42-17)                                               

که در آن ω1 بزرگتر از ω2 است. با استفاده از اصل برهم نهی خواهیم داشت:

(43-17)                                             

با استفاده از رابطه ی مثلثاتی:

(44-17)                                    

خواهیم داشت:

(45-17)                                     

اگر بنویسیم:

(46-17)                                               

خواهیم داشت:

(47-17)                                                      

اگر دو بسامد زاویه ای ω1 و ω2 خیلی به هم نزدیک باشند، به این معنی است که ωخیلی از ω بزرگتر است، بنابراین ما می توانیم معادله ی 17-47 را یک تابع کسینوسی با بسامد زاویه ای ω و دامنه ای که در داخل کروشه قرار دارد (که ثابت نیست و تابعی کسینوسی با بسامد زاویه ای ω) در نظر بگیریم. بیشینه دامنه زمانی رخ می دهد که  cos ω´tبرابر با  +1یا-1  باشد. که دو بار در هر تکرار تابع کسینوس اتفاق می افتد. چون  cos ω´t تابعی از فرکانسω است، بسامد زاویه ای زنش برابر است با:

(48-17)                                       

و بسامد زنش را می توانیم به صورت زیر بنویسیم:

(49-17)                                                                   

 

اثر دوپلر

تغییر بسامد به دلیل حرکت نسبی ناظر و چشمه موج نسبت به یکدیگر اثر دوپلر نامیده می شود. به طور کلی، بنابراین اثر بسامد شنیده شده ی یک موج به حرکت نسبی ناظر و چشمه موج بستگی دارد. اثر دو پلر نه تنها برای موج های صوتی بلکه برای موج های الکترومغناطیسی از قبیل، نور مرئی و موج هایی رادیویی نیز اتفاق می افتد. اگر ناظر یا چشمه یا هر دو متحرک باشند و بسامد منتشر شده توسط چشمه f  باشد، بسامدی که ناظر دریافت می کند f  برابر است با:

(50-17)                                                                     

که در آن v سرعت صوت در هوا،vD  سرعت ناظر نسبت به هوا و  vSسرعت چشمه نسبت به هوا است. اگر جهت حرکت موج صوتی را مثبت بگیریم، اگر سرعت های ناظر و چشمه در خلاف جهت آن بود علامت مثبت و اگر در جهت آن بود علامت منفی را در معادله 17-50 درنظر می گیریم.

ناظر متحرک، چشمه ساکن

در شکل 17-11، ناظر D که توسط یک گوش نشان داده شده است. با سرعت ثابت vD به طرف چشمه ی ساکن S که امواج صوتی کروی با طول موج λ و بسامد f گسیل می کند در حال حرکت است. در شکل جبهه های موج به اندازه ی یک طول موج از یکدیگر فاصله دارند و سرعت صوت در هوا v درنظر گرفته شده است. برای یک لحظه ما موقعیتی که ناظر D ساکن است را درنظر بگیرید (شکل17-12). در زمان t جبهه ی موجی مسافت vt را به سمت راست طی می کند. تعداد طول موج های در مسافت vt برابر است با تعداد طول موج های قطع شده توسط ناظر D در زمان t ، و این تعداد برابر است با vt/λ . آهنگ قطع شدن طول موج ها توسط ناظر برابر است با بسامدی که ناظر دریافت می کند، یعنی:

(51-17)                                                                  

در این موقعیت که ناظر ساکن بود، اثر دوپلر وجود نداشت، و بسامد که ناظر دریافت می کرد برابر بود با بسامدی که چشمه منتشر می کرد. حالا اگر ناظر در خلاف جهت سرعت جبهه های موج حرکت کند. (شکل 17- 13(b))، مسافتی که جبهه ی موج نسبت با ناظر در زمان t طی می کند برابر است با vt+vDt. تعداد طول موج ها در این فاصله برابر است با تعداد طول موج هایی که توسط ناظر در زمان t قطع می شود: (vt+vDt)/λ. آهنگ قطع شدن طول موج ها توسط ناظر در این حالت برابر است با:

(52-17)                                                      

با استفاده از معادله ی 17-51، معادله ی 17-52، تبدیل می شود به:

(53-17)                                                         

توجه داشته باشید که در معادله ی 17-53، همیشه >f مگر آنکه vD=0 باشد.

همانند روشی که در بالا شرح داده شد، برای حالتی که ناظر از چشمه دور می شود، جبهه های موج مسافت vt-vDt را نسبت به ناظر طی می کند. بنابراین بسامدی که ناظر در این حالت دریافت می کند برابر است با:

(54-17)                                                                 

اکنون <f مگر آنکه vD=0 باشد. ما می توانیم معادلات 17-53 و 17-54 را به شکل زیر خلاصه کنیم:

(55-17)                                                                

چشمه متحرک، ناظر ساکن

در این حالت ما ناظر D را نسبت به هوا ساکن در نظر می گیریم، در حالی که  چشمه ی S با سرعت vs به طرف ناظر در حرکت است (شکل 17-14). حرکت چشمه ی طول موج صوت را تغییر داده و بنابراین باعث تغییر در بسامد شنیده شده توسط ناظر می شود. برای دیدن این تغییر، اگر T زمان بین انتشار هر جفت از جبهه های موج متوالی W1 و W2 باشد. در طی زمان T جبهه ی موج W1، مسافت vT را طی می کند و در همین مدت چشمه، مسافت vsT را می پیماید. در انتهای T ، جبهه ی موج W2 منتشر می شود. بنابراین فاصله ی بین W1 و W2 ، که برابر است با طول موج λˊ موج متحرک، برابر است با vT-vsT. اگر ناظر این موج را دریافت کند، بسامدی که می شنود برابر است با:

(56-17)                                

توجه داشته باشید که در معادله ی 17-56، همیشه >f مگر آنکه vs=0 باشد.

اگر چشمه از ناظر دور شود، با استدلالی مشابه قسمت قبل، طول موج برابر خواهد بود با vT+vsT. اگر ناظر این موج را دریافت کند، بسامدی که می شنود برابر است با:

(57-17)                                                                

اکنون <f مگر آنکه vs=0 باشد. ما می توانیم معادلات 17- 56و 17- 57 را به شکل زیر خلاصه کنیم:

(58-17)                                                                

 

 

شکل 17-1، یک موج صوتی که از چشمه ی S در سه بعد منتشر می شود.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

جدول 17-1، سرعت صوت

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 17-4، (a) نمودار جابه جایی یک موج صوتی  در 0=t و (b) نمودار مشابه برای تغییرات فشار همان موج صوتی. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 17-5،  (a) دو چشمه ی صوت نقطه ای که امواج کروی تولید می کنند. تداخل در نقطه ی P به اختلاف مسیر بستگی دارد. (b) دو موج دقیقا با به صورت هم فاز به نقطه ی P می رسند. (c) دو موج دقیقا در فاز مخالف به نقطه ی P می رسند. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 17-6،  یک چشمه نقطه ای امواج صوتی یکنواختی در تمام جهات منتشر می کند.

 

 

 

   

 

 شکل 17- 7، صوت می تواند باعث نوسان دیواره های لیوان شیشه ای شود. اگر صوت یک موج استاده تولید کند و اگر شدت صوت  به اندازه ی کافی بزرگ باشد، لیوان در هم می شکند. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 17- 9، (a) الگوی موج های ایستاده برای موج صوتی منتشر شده در لوله ای که دو انتهای آن باز است. (b) الگوی موج های استاده برای موج صوتی منتشر شده در لوله ای که یک انتهای آن باز است.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 17- 10، (a و b) تغییرا تفشار برای دو موج صوتی. بسامد این دو موج تقریبا یکسان است. (c) برهم نهی تغییرات فشار اگر دو موج به طور همزمان مشاهده شود.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 17- 11، یک چشمه ساکن که موج صوتی کروی گسیل می کند و ناظر متحرک که به طرف چشمه حرکت می کند.

 

 

شکل 17- 12، جبه های موج شکل 17-11وقتی ناظر ساکن است.

 

شکل 17- 13، ناظر از چشمه دور می شود.

 

 

 

 

 

شکل 17- 14، جبه های موج برای چشمه متحرک و ناظر ساکن.