نوسانگرها 

 

حرکت هماهنگ ساده

شکل 15-1، یک رشه از عکس های پی در پی از یک سیستم نوسانی ساده را نشان می دهد، ذره به طور متناوب به جلو و عقب رو محور x حرکت می کند.

 

شکل 15-1، (a) یک نوسانگر که به چپ و راست حرکت هماهنگ ساده انجام می دهد. (b)  سرعت نوسانگر در نقاط میانی بیشترین مقدار را دارد و در نقاط برگشت صفر است.

 

یکی از مهمترین خصوصیات حرکت نوسانی، بسامد یا تعداد نوسان هایی هر ثانیه است. نماد بسامد f است و یکای آن در SI هرتز است:

(1-15)                                                            

کمیت متناسب با بسامد، دوره T حرکت است، که زمان انجام یک نوسان است:

(2-15)                                                                         

هر حرکتی که در یک بازه ی زمانی منظم خودش را تکرار می کند، حرکت دوره ای یا حرکت هماهنگ نامیده می شود. برای حرکاتی که خودشان را  در یک مسیر بخصوص تکرار می کنند. شکل 15-2، جابه جایی x ذره از مبدا به صورت تابعی از زمان داده می شود:

(3-15)                                                             

که xm، ω و Φمقادیر ثابت هستند. چنین حرکاتی نوسانی که یک تابع سینوسی از زمان است، حرکت هماهنگ ساده نامیده می شود. کمیت xm دامنه نامیده می شود و یک ثابت مثبت است و مقدار آن برابر است با بیشینه ی جابه جایی ذره. کمیت (ωt+Φ) فاز حرکت نامیده می شود، ثابت Φ، ثابت فاز یا زاویه فاز نامیده می شود و مقدار آن به جابه جایی و سرعت ذره در زمان t=0 بستگی دارد. ثابت ω بسامد زاویه ای حرکت نامیده می شود و مقدار آن برابر است با:

(4-15)                                                                  

یکای بسامد زاویه ای در SI رادیان بر ثانیه است.

سرعت

با دیفرانسیل گیری از معادله ی جابه جایی، سرعت ذره ای که حرکت هماهنگ ساده انجام می دهد بدست می آید:

(5-15)                                                 

(6-15)                                                        

شکل 15-5 (b)، نمودار سرعت را با Φ=0 نشان می دهد. کمیت مثبت ωxm، دامنه ی سرعت نامیده می شود و با vm نشان داده می شود.

شتاب

با دیفرانسیل گیری از معادله سرعت، شتاب حرکت هماهنگ ساده بدست می آید:

(7-15)                                             

(8-15)                                                      

شکل 15-5 (c)، نمودار شتاب را با Φ=0 نشان می دهد. کمیت مثبت ω2xm، دامنه شتاب نامیده می شود و با am نشان داده می شود. با ترکیب کردن معادلات جابه جایی و شتاب خواهیم داشت:

(9-15)                                                                  

بنابراین در حرکت هماهنگ ساده، شتاب متناسب است با جابه جایی اما با علامت مخالف.

قانون نیرو برای حرکت هماهنگ ساده

همان طور که در حرکت هماهنگ ساده دیدیم، شتاب ذره با زمان تغییر می کند. بنابراین با استفاده از قانون دوم نیوتون برای این حرکت خواهیم داشت:

(10-15)                                                            

که به ما می گوید نیروی بازگردان متناسب است با منفی جابه جایی. که شبیه به قانون هوک است:

(11-15)                                                                       

برای یک فنر، ثابت فنر برابر است با:

(12-15)                                                                      

بنابراین می توان گفت که سیستم جسم فنر، یک حرکت هماهنگ ساده خطی (نوسانگر خطی) انجام می دهد. در اینجا کلمه "خطی" خاطرنشان می کند که نیرو با x متناسب است نه با توان های بالاتر x. اگر جرم جسم m باشد، بسامد زاویه ای این سیستم برابر است با:

(13-15)                                                                       

و دوره حرکت نوسان خطی برابر است با:

(14-15)                                                                      

انرژی در حرکت هماهنگ ساده

انرژی پتانسیل یک نوسانگر خطی مانند شکل 15-6، برابر است با:

(15-15)                                                  

انرژی جنبشی این سیستم، برابر است با:

(16-15)                                               

(17-15)                                                  

انرژی مکانیکی سیستم، حاصل جمع انرژی پتانسیل و انرژی جنبشی سیستم است:

(18-15)

و  با استفاده از این رابطه ی ریاضی که برای یک زاویه دلخواه α:

(19-15)                                                              

خواهیم داشت:

(20-15)                                                              

بنابراین انرژی مکانیکی یک نوسانگر خطی، ثابت و مستقل از زمان است (شکل 15-7).

نوسانگر هماهنگ ساده زاویه ای

شکل 15-8، یک مدل زاویه ای از نوسانگر هماهنگ ساده را نشان می دهد.: عامل ارتجاع یا کشسانی به پیچش سیم آویزان (نسبت به انبساط و انقباض فنر)، بستگی دارد. این وسیله آونگ پیچشی نامیده می شود. اگر قرص به به اندازه ی زاویه ی θ نسبت به حالت سکون و رها شود حول آن مکان نوسان می کند. چرخاندن قرص به اندازه  ی θ یک گشتاور بازگردان تولید می کند که اندازه آن برابر است با:

(21-15)                                                                        

در اینجا، ثابت κ، ثابت پیچشی نامیده می شود و مقدار آن به طول، قطر و جنس سیم آویزان بستگی دارد. با مقایسه این معادله با قانون هوک مشاهده می کنیم که این معادله شکل زاویه ای قانون هوک است. بنابراین با جایگزین کردن ثابت فنر با هم ارز آن κ، و جرم جسم m با لختی دورانیI، دوره ی آونگ پیچشی برابر است با:

(22-15)                                                                       

آونگ ها

آونگ ساده

یک آونگ ساده شامل ذره به جرم m ( که وزنه نامیده می شود) است که توسط یک ریسمان بدون جرم و غیر قابل کشش به طول L از یک نقطه آویزان شده، شکل15-9. نیروهای وارد شده به ذره عبارت اند از نیرو ی کشش ریسمانT  و نیروی گرانشی Fg.شکل. نیروی گرانشی را می توان به دو مولفه ی شعاعی و مماسی تجزیه کرد. مولفه ی مماسی یک نیروی بازگردان است که بر ذره وارد می شود و آن را به مکان تعادل باز می گرداند. با استفاده از معادله ی τ=rF ما می توانیم گشتاور نیروی بازگردان را به صورت زیر بنویسیم:

(23-15)                                                                

با استفاده از معادله ی τ= خواهیم داشت:

(24-15)                                                              

با فرض اینکه زاویه ی θ کوچک است. ما می توانیم sin θ را تقریبا برابر با θ درنظر بگیریم، با این تقریب خواهیم داشت:

(25-15)                                                                  

این معادله به ما می گوید که شتاب زاویه ای آونگ، متناسب با منفی جابه جایی زاویه ای آن است. بیشینه جابه جایی زاویه ای، دامنه ی زاویه ای θm نامیده می شود. با توجه به معادله ی بالا دوره تناوب آونگ برابر است با:

(26-15)                                                                     

اگر بنابر فرض اولیه ریسمان بدون جرم باشد، لختی دورانی آونگ برابر است با: I=mL2 و بنابراین خواهیم داشت:

(27-15)                                                                       

آونگ فیزیکی

یک آونگ واقعی، معمولا آونگ فیزکی نامیده می شود. که می تواند یک توزیع پیچیده از جرم داشته باشد. شکل 15-10، یک آونگ فیزیکی را نشان می دهد که از یک طرف به اندازه ی θ جابه جا شده است. نیروی گرانش به مرکز جرم جسم C  وارد می شود. بنابراین ما می توانیم این سیستم را همانند آونگ ساده ای درنظر بگیریم. برای زاویه های خیلی کوچک θm دوره تناوب آونگ فیزیکی برابر است با:

(28-15)                                                                  

که در آن I لختی دورانی آونگ حول نقطه ی O، m جرم آونگ و h فاصله ی مرکز جرم آونگ تا نقطه ی O است.

 

 شکل 15-10، یک آونگ فیزیکی که مرکز جرم آن در نقطه ی c قرار دارد. 

اندازه گیری g

ما می توانیم با استفاده از آونگ فیزیکی، شتاب سقوط آزاد را در نقطه روی سطح زمین اندازه بگیریم. برای این منظور میله ای یکنواخت به طول L را درنظر بگیرید که از یک سرش آویزان شده است. برای چنین آونگی h برابر است L/2 (فاصله ی بین نقطه ی لولا و مرکز جرم میله). لختی دورانی این میله حول محور عمود بر نقطه ی لولا برابر است با:

(29-15)                                           

با قراردان مقادیر I و h در معادله ی 15-29 و حل کردن آن برای g خواهیم داشت:

(30-15)                                                                      

با اندازه گیری T وL می توان g را از معادله ی بالا محاسبه کرد.

حرکت هماهنگ ساده و حرکت دایره ای یکنواخت

ما می توانیم حرکت هماهنگ ساده را به صورت تصویر حرکت دایره ای یکنواخت در امتداد یکی از قطر های آن تعریف کرد. شکل 15-11 (a) نشان می دهد که نقطه ی p´ یک حرکت دایره ای یکنواختی با سرعت زاویه ای ثابت انجام می دهد. شعاع دایره (xmبرابر است با بزرگی بردار مکان ذره. در زمان دلخواه t مکان زاویه ای ذره برابر است با  ωt+Φ، که در آن Φ مکان زاویه ای در t=0 است. در شکل 15-11 (a) تصویر نقطه  p´ روی محور x با p نشان داده شده است که ما آن را به عنوان ذره ی دوم درنظر می گیریم. تصویر بردار مکان ذره ی p´ روی محور x برابر است با:

(31-15)                                                          

که همان معادله ی حرکت هماهنگ ساده است. بنابراین اگر ذره حرکت دایره ای یکنواخت انجام دهد، تصویر آن حرکت هماهنگ ساده انجام می دهد. شکل 15-11 (b) نشان می دهد که تصویر سرعت ذره روی محور x برابر است با:

(32-15)                                                         

شکل 15-11 (cنشان می دهد که تصویر شتاب حرکت ذره روی محور x برابر است با:

(33-15)                                                        

حرکت هماهنگ میرا

وقتی حرکت یک نوسانگر در اثر یک نیروی خارجی کند شود، گفته می شود که نوسانگر و حرکتش میرا شده است. یک نمونه از نوسانگر میرا در شکل 15-12 نشان داده شده است. در این شکل جسمی به جرم m به فنری با سختی k متصل شده و حرکت هماهنگ عمودی انجام می دهد، یک تیغه غوطه ور در شاره توسط میله ای به جسم متصل شده است. (میله و تیغه بدون جرم درنظر گرفته شده). شاره یک نیروی میرایی Fd که با سرعت تیغه و جسم متناسب است به سیستم وارد می کند:

(34-15)                                                                    

که در آن b ثابت میرایی است. ثابت میرایی به خصوصیات تیغه و شاره بستگی دارد و واحد آن در SI کیلوگرم بر ثانیه است. علامت منفی در معادله ی بالا نشان می دهد که Fd با حرکت نوسانگر مخالفت می کند. با چشم پوشی از نیروی گرانشی وارد شده بر جسم نسبت به نیروی میرایی و نیروی فنر، با استفاده از قانون دوم نیوتون خواهیم داشت:

(35-15)                                                                 

با قرار دادن dx/dt و d2x/dt2 به ترتیب به جای v و  aخواهیم داشت:

(36-15)                                                          

حل معادله دیفرانسیل بالا به صورت زیر است:

(37-15)                                                     

که در آن xm دامنه و ω بسامد زاویه ای نوسانگر میرا است که به شکل زیر داده می شود:

(38-15)                                                                    

اگر b=0 باشد، داریم ω´=ω و اگر ثابت میرایی کوچک باشد، خواهیم داشت:

 

و برای مقادیر کوچک b انرژی مکانیکی به صورت زیر داده می شود:

(39-15)                                                               

 شکل 15-13، نمودار جابه جایی برای  نوسانگر میرا. دامنه با زمان کاهش می یابد.

نوسان واداشته و تشدید

اگر یک نیروی خارجی نوسانی با بسامد زاویه ای ωdروی یک سیستم نوسانی اعمال شود سیستم با بسامد زاویه ای ωd نوسان می کند، چنین نوسانی را نوسان واداشته می نامند. نوسان واداشته شامل دو بسامد زاویه ای است: (1) بسامد زاویه ای طبیعی ω سیستم، که بر اثر جابه جا شدن جسم از موضع تعادل وسپس رها شدن آن تولید می شود، و (2) بسامد زاویه ای ωd نیروی خارجی. معادله جابه جایی برای نوسان واداشته  برابر است با:

(40-15)                                                          

در نوسان واداشته دامنه ی سرعت بیشترین مقدار را خواهد داشت اگر:

 (41-15)                                                                        

این شرایط تشدید نامیده می شود، همچنین می توان گفت که در شرایط تشدید، دامنه ی نوسان xm (تقریبا) بیشترین مقدار خود را خواهد داشت است.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 15-2، نمودار جابه جایی دو نوسانگر با بسامد و دوره ی یکسان و دامنه ی متفاوت.

شکل 15-3، نمودار جابه جایی دو نوسانگر با بسامد و دوره ی متفاوت و دامنه ی یکسان.

 شکل 15-4، نمودار جابه جایی دو نوسانگر با اختلاف فاز π ¼-

 15-15

 

 شکل 15-5، (a) جابه جایی یک نوسانگر هماهنگ ساده (b) سرعت نوسانگر. (c) شتاب نوسانگر.

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 15-6، حرکت هماهنگ ساده ی خطی سیستم جسم- فنر (سطح تماس بدون اصطکاک درنظر گرفته می شود)

 

 

 

 

 

   

 شکل 15- 7، (a) با تغییر زمان انرژی نوسانگر بین دو نوع انرژی تغییر می کند اما انرژی کل ثابت است. (b) با تغییر مکان نیز انرژی نوسانگر بین دو نوع انرژی تغییر می کند اما انرژی کل ثابت است.

 

 

 

 

شکل 15- 8، یک نوسانگر زاویه ای که حرکت هماهنگ ساده انجام می دهد.

 

 

 شکل 15-9، (a) آونگ ساده. (b) نیروی های وارد بر وزنه ننیروی کشش ریسمان و گرانش است.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 15-11، (a) ذره یp´  روی دایره حرکت می کند و p تصویر آن روی محور x است. (b) تصویر سرعت ذره روی محور x. و (c) تصویر شتاب ذره روی محور x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 15-12، یک نوسانگر هماهنگ ساده ی میرا.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 15-14، دامنه ی جابه جایی برای یک نوسان واداشته با بسامد زاویه ای نیروی اعمال شده تغییر می کند.