شاره ها 

 

شاره چیست

یک شاره در مقایسه با جامد ماده ای است که می تواند جاری شود (شارش پیدا کند). شاره ها در هر ظرفی بریزند به شکل همان ظرف در می آیند. زیرا شاره ها در برابر نیروی ماس با سطح شان نمی توانند مقاومت کنند. (به عبارت دیگر شاره ها موادی هستند که شارش پیدا می کنند چون نمی توانند در برابر تنش برشی مقاومت کنند). با توجه به این توضیحات نتیجه می گیریم که شاره ها شامل مایعات و گاز ها است.

 

چگالی و فشار

وقتی درباره ی یک جسم صلب صحبت می شود، کمیت های فیزیکی مفید برای ما، جرم و نیرو است. درحالی که کمیت های فیزیکی مفید برای بررسی شاره ها عبارت است از چگالی و فشار.

چگالی

برای پیدا کردن چگالی یک شاره در هر نقطه، یک جزء حجم کوچک ΔV اطراف نقطه ی آن نقطه درنظر می گیریم و جرم شاره درون آن  Δm را اندازه می گیریم. چگالی برابر است با:

(1-14)                                                                         

اگر چگالی شاره یکنواخت باشد، خواهیم داشت:

(2-14)                                                                          

که در آن V حجم و m جرم شاره است. چگالی کمیتی اسکالر است و یکای آن در سیستم SI کیلوگرم بر متر مکعب است. توجه داشته باشید که چگالی گازها با فشار تغییر می کند، اما چگالی مایعات تغییر نمی کند. به عبارت دیگر گازها تراکم پذیر هستند در حالی که مایعات تراکم ناپذیر اند.

فشار

اگر فشارسنج کوچکی را مطابق شکل 14-1، درون ظرفی پر از یک شاره قرار بدهیم و بزرگی نیروی عمودی وارد شده به سطح پیستون فشار سنج (به مساحت ΔA) برابر با  ΔF باشد، فشار در آن نقطه را به صورت زیر تعریف می کنیم:

(3-14)                                                                         

اگر یک نیرو یکنواخت روی سطح صافی وارد شود، می توانیم بنویسیم:

(4-14)                                                                          

که در آن F بزرگی نیروی عمود بر سطح A است. فشار کمیتی اسکالر است (در تعریف آن فقط از بزرگی نیرو استفاده کردیم) و یکای آن در SI نیوتون بر متر مربع است که پاسگال (Pa) نامیده می شود. یکاهای دیگر فشار عبارت است از:

(5-14)                                     

یک  اتمسفر تقریبا متوسط فشار جو (اتمسفر) در سطح دریاست.

 

شاره ها در حال سکون

شکل 14-2، یک ظرف پر از آب یا هر مایع دیگری را نشان می دهد که سطح بالایی آن با جو در تماس است. (ظرب بدون درب). برای پیدا کردن فشار در عمق آب یک محور عمودی y در ظرف در نظر می گیریم که جهت مثبت آن رو به بالا ست. سپس استوانه ای از آب (یک نمونه از آب را به شکل استوانه ای فرض می کنیم) که سطح مقطع آن موازی با سطح آزاد مایع است در نظر می گیریم به طوری که سطح بالایی آن در y1 و سطح پایینی آن در y2 قرار داشته باشد (هر دوی این اعداد منفی هستند). آب در حال تعادل ایستا است و  بنابراین نیروهای وارد بر استوانه آبی در حال تعادل اند. سه نیرو به طور عمودی به استوانه ی آبی وارد می شود: نیروی F1 که به سطح بالایی استوانه وارد می شود و ناشی از آب بالای آن است، نیروی F2 که به سطح پایینی استوانه وارد می شود و فقط ناشی از آب زیر آن است و نیروی گرانشی که برابر است با mg (که در آنm جرم آب درون استوانه است). شکل14-2 (e).

                                        

شکل 14-2، (a) یک مخزن آب که نمونه ی نشان داده شده از آب همانند یک استوانه ی با قاعده ی A درنظر گرفته شده است. (b) و (c) و (d)، نیروی های وارد شده به سطح بالایی، پایینی و نیروی گرانش وارد به نمونه. (e) نمودار نیروهای وارد بر نمونه.

 

با توجه به اینکه استوانه ساکن است می توانیم بنویسیم:

(6-14)                                                                     

همچنین با توجه به تعریف فشار می توانیم بنویسیم:

(7-14)                                                               

با استفاده از تعریف چگالی، جرم آب درون استوانه برابر است با m=ρV که V حجم استوانه است. اگر مساحت سطح مقطع استوانه برابر با A و ارتفاع آن برابر با y2-y1 باشد، m برابر است با  ρA(y2-y1). با جایگذاری این مقادیر در معادله ی14-6 خواهیم داشت:

(8-14)                                                          

یا:

(9-14)                                                             

این معادله با ما می گوید که فشار در یک مایع تابعی از عمق و در جو تابعی از ارتفاع است. برای پیدا کردن فشار در عمق h از سطح آزاد مایع، ما سطح مقطع بالایی استوانه را در سطح آزاد مایع و سطح مقطع پایینی استوانه را در عمق h از مایع در نظر می گیریم: چون فشار در سطح مقطع بالایی استوانه برابر با فشار جو P0 است، با قرار دادن داده های زیر در معادله ی 14-9:

(10-14)                                            

 فشار در عمق h بدست خواهد آمد:

(11-14)                                                                   

با توجه به معادله ی بالا؛

"فشار در هر نقطه از یک شاره در حال تعادل ایستا، فقط به عمق آن نقطه بستگی دارد و به ابعاد افقی و شکل ظرف بستگی ندارد."

در معادله ی14-6، P فشار کل یا فشار مطلق، P0 فشار جو در سطح مایع و ρgh فشار پیمانه ای نامیده می شوند، به عبارت دیگر:

فشار پیمانه ای + فشار جو = فشار کل

همچنین اگر فرض کنیم که چگالی هوا یکنواخت است (با ارتفاع تغییر نمی کند) و P0 فشار جو در سطح دریا باشد. فشار در ارتفاع d از سطح دریا  با قرار دادن داده های زیر در معادله ی 14-9 محاسبه می شود:

(12-14)                                             

 

یعنی:

(13-14)                                                                

 

اندازه گیری فشار

بارومتر جیوه ای (جوسنج جیوه ای)

بارومتر جیوه ای وسیله ی است که فشار جو را اندازه گیری می کند. و تشکیل شده است از یک لوله ی شیشه ای که یک سر آن بسته است و با جیوه پرشده و درون یک تشتک پر از جیوه وارونه شده است. (شکل 14-4). فضای بالای ستون جیوه فقط بخار جیوه وجود دارد و در دمای عدی فشار آن تقریبا صفر در نظر گرفته می شود. با استفاده از معادله فشار برای مایعات، فشار در سطح جدایی جیوه هوا که همان فشار جو P0 در آن نقطه است برابر است با:

(14-14)                                                                                                              

                                                                     

 

که با قرار دادن داده های زیر در معادله ی 14-9 محاسبه می شود:

(15-14)                                          

 

که در آن h ارتفاع ستون جیوه و ρ چگالی جیوه است. شکل 14-4، نشان می دهد که ارتفاع ستون جیوه به مساحت و شکل سطح مقطع لوله بستگی ندارد و فقط به g و چگالی جیوه بستگی دارد.

شکل 14-4، (a) یک بارومتر جیوه ای. (b) بارومتر جیوه ای با شکلی متفاوت، ارتفاع h در هر دو یکسان است.

 

مانومتر با لوله باز

یک مانومتر با لوله باز فشار پیمانه ای گاز ها Pg را اندازه گیری می کند. این فشار سنج تشکیل شده از یک لوله ی U شکل که با مایعی با چگالی ρ پر شده است و یک طرف آن به مخزن پر از گاز متصل است و طرف دیگر لوله با هوا در تماس است، (شکل14-5) .اگر فشار گاز درون مخزنبا فشار جو یکسان نباشد، سطح مایع در دو طرف لوله یکسان نیست. اگر سطح مایع در طرف باز لوله به اندازه ی h بالاتر از سطح مایع در طرف دیگر لوله باشد، فشار پیمانه ای گاز درون مخزن برابر است با:

(16-14)                                              

(17-14)                                                             

که در آنρ چگالی مایع درون لوله است. فشار پیمانه ای گاز می تواند منفی یا مثبت باشد، فشار کمتر از فشار جو را منفی می گویند. در فشار پیمانه ای منفی، سطح مایع در طرف مخزن از سطح مایع در طرف باز لوله بالا تر است.

 

اصل پاسگال

پاسکال در سال 1652 میلادی با استفاده از این واقعیت که از شاره های ساکن می توان برای انتقال فشار از محل تولید به محل دیگر استفاده کرد بدون اینکه از مقدار فشار کاسته شود، اصل پاسکال را بیان کرد:

"هرگاه فشاری به یک قسمت از شاره ی محبوس وارد شود، آن فشار بدون کم وکاست به تمامی قسمت های دیگر آن شاره منتقل می شود."

برای اثبات این اصل شاره ای تراکم ناپذیر را در نظر بگیرید که درون استوانه ای ریخته شده است، شکل 14-6. استوانه با یک پیستون مسدود شده است و روی پیستون ظرفی پر از ساچمه قرار دارد، فشار خارجی Pext ناشی از ساچمه ها، ظرف و جو به پیستون و به دنبال آن به شاره وارد می شود. فشار P در هر نقطه درون مایع برابر است با:

(18-14)                                                                  

با افزایش تعداد ساچمه ها فشار خارجی وارد شده به پیستون و مایع افزایش به اندازه ی ΔPext می یابد. با استفاده از معادله بالا و این نکته که کمیت های ρ ، g وh ثابت اند خواهیم داشت:

(19-14)                                                                      

بنابراین تغییر فشار به تمامی نقاط منتقل می شود.

بالابر هیدرولیکی و اصل پاسکال

شکل14-7،  نشان می دهد که چگونه اصل پاسکال می تواند اساس کار بالابر (جک) هیدرولیکی باشد. اگر نیروی خارجی روبه پایین Fi به پیستون طرف چپ به مساحت Ai وارد شود، چون  شاره تراکم ناپذیر است باعث بالا رفتن پیستون طرف راست به مساحت Ao با نیروی Fo به سمت بالا می شود. تغییرات فشار در این فرایند برابر است با:

(20-14)                                                                     

بنابراین:

(21-14)                                                                      

معادله ی بالا نشان می دهد که اگر مساحت Ao بزرگتر از Ai باشد، نیروی تولید شده بیشتر از نیروی وارد شده است. اگر مسافی که پیستون سمت چپ به طرف پایین طی می کند برابر با di و مسافتی که پیستون سمت راست به طرف بال طی می کند برابر با do باشد، با توجه به اینکه حجم شاره تراکم ناپذیر جابه جا شده هر دو طرف، یکسان است. خواهیم داشت:

(22-14)                                                                 

 بنابراین ما می توانیم بنویسیم:

(23-14)                                                                       

که به نشان می دهد که اگر مساحت Ao بزرگتر از Ai باشد، مسافتی که پیستون سمت راست طی می کند کمتر از مسافتی است که پیستون سمت چپ طی می کند.

کار خروجی برابر است با:

(24-14)                                                

 

اصل ارشمیدس

اصل ارشمیدوس به ما می گویید:

"به هرجسمی که درون شاره ای قرار گیرد، نیرویی رو به بالا (نیروی شناوری) برابر با وزن شاره ای که جسم جابه جا می کند وارد می شود."

بزرگی نیروی شناوری Fb برابر است با:

(25-14)                                                                        

که در آن mf جرم شاره ی جابه جا شده است.

اجسام شناور

وقتی جسمی در شاره ای شناور می شود، در این حالت بزرگی نیروی شناوری Fb وارد شده به جسم با بزرگی نیروی گرانشی  Fg وارد شده به جسم (وزن جسم) برابر است. بنابراین می توانیم بنویسیم:

(26-14)                                                                          

به عبارت دیگر:

(27-14)                                                                        

وزن ظاهری در یک شاره

ما جسمی را روی ترازو قرار دهیم و وزن آن را اندازه می گیریم، حالا اگر این کار را در زیر آب انجام دهیم، مقداری که ترازو نشان می دهد کمتر از مقدار اندازه گیری شده در بیرون آب خواهد بود. وزنی که ما در زیر آب اندازه می گیریم وزن ظاهری نامیده می شود و مقدار آن برابر است با:

(بزرگی نیروی شناوری) (وزن واقعی) = (وزن ظاهری)

(28-14)                                                                  

توجه داشته باشید که اگر جسمی در یک شاره شناور شود، با توجه با رابطه بالا وزن ظاهری آن صفر خواهد شد.

 

معادلات پیوستگی

شکل 14-9، لوله ای را نشان می دهد که از دو قسمت با سطح مقطع متفاوت تشکیل شده است و شاره ای ایده آل (تراکم ناپذیر و چگالی ثابت) درون آن به سمت راست حرکت می کند. سرعت شاره در انتهای چپ لوله برابر با v1 و در انتهای راست لوله برابر با v2 است و مساحت سطح مقطع در طرف چپ و راست لوله به ترتیب برابر با A1 و A2 است.

شکل 14-9، شاره از سمت چپ به سمت راست لوله حرکت می کند.

 

اگر لوله ای با سطح مقطع یکنواخت A داشته باشیم، شکل 14-10، یک جزء شاره l در بازه ی زمانی Δt مسافت Δx=vΔt را طی می کند. بنابراین حجم ΔV که در این بازه ی زمانی از خط چین عبور می کند برابر است با:

(29-14)                                                                

 با به کار گیری این معادله برای طرف چپ و راست لوله، خواهیم داشت:

(30-14)                                                          

(31-14)                                                                    

این رابطه ی بین سرعت و مساحت سطح مقطع لوله برای یک شاره ی ایده آل، معادله ی پیوستگی نامیده می شود. شکل 14-11، لوله ای از جریان را نشان می دهد که مساحت سطح مقطع آن از در طول جریان از A1 به A2 افزایش پیدا می کند. با استفاده از معادله بالا می بینیم که با افزایش مساحت، سرعت شاره باید کم شود. ما می توانیم معادله بالا را به صورت زیر بنویسیم:

(32-14)                                                                  

که در آن RV آهنگ حجمی شارش (حجم بر یکای زمان) است و یکای آن در SI متر مکعب بر ثانیه است. اگر چگالی شاره یکنواخت باشد، آهنگ جرمی شارش (جرم بر یکای زمان) به شکل زیر تعریف می شود.

(33-14)                                                          

 

معادله ی برنولی

شکل 14-12، لوله ای را نشان می دهد که شاره ای ایده آل با آهنگ شارش یکنواخت درون آن جریان دارد. اگر y1، v1 و p1 به ترتیب ارتفاع، سرعت و فشار شاره ی وارد شده از طرف چپ باشد، و y2، v2 و p2 به ترتیب ارتفاع، سرعت و فشار شاره ی خارج شده از طرف راست باشد، با استفاده از اصل پایستگی انرژی برای شاره ها خواهیم داشت:

(34-14)                                             

که جمله ی دوم در هر دو طرف تساوی چگالی انرژی جنبشی (انرژی جنبشی بر واحد حجم) شاره نامیده می شود. همچنین ما می توانیم این معادله را به صوت زیر بنویسیم:

(35-14)                                                          

که به معادله برنولی مشهور است. معادله برنولی برای شاره های ساکن (v1= v2=0) به صورت زیر بیان می شود:

(36-14)                                                            

اگر شاره در حین شارش تغییر ارتفاع ندهد، معادله برنولی به صورت زیر بیان می شود:

(37-14)                                                        

که به ما می گوید: با افزایش سرعت شاره فشار آن کاهش می یابد و بلعکس.

اثبات معادله برنولی

با توجه به شکل14-12، حجم ورودی از شاره ایده آل (قسمت آبی پرنگ) از حالت اولیه حرکت کرده و به حالت نهایی (قسمت سبز) خود می رسد. با استفاده از  قضیه ی کار انرژی:

(38-14)                                                                         

که به ما می گوید تغییر در انرژی جنبشی سیستم برابر است با کار خالص انجام شده روی سیستم. تغییر در انرژی جنبشی در نتیجه ی تغییر سرعت در ابتدا و انتهای لوله برابر است با:

(39-14)                                           

کار انجام شده روی سیستم ناشی از دو منبع است. یکی کار Wg ناشی از نیروی گرانش روی جرم Δm در طی حرکت عمودی آن از ابتدا تا انتهای لوله:

(40-14)                                              

و دیگری کار ناشی از نیروی F که برای به حرکت در آوردن شاره در یک لوله به مساحت A و به مسافت Δx به شاره وارد می شود:

(41-14)                                                   

کار انجام شده روی سیستم برابر است با p1ΔV و کار انجام شده توسط سیستم برابر است با  p2ΔV، بنابراین حاصل جمع این کار ها برابر است با:

(42-14)                                               

بنابراین قضیه ی کار انرژی به صورت زیر نوشته می شود:

(43-14)                                                               

با استفاده از معادلات بدست آمده برای Wg ، Wp و ΔK خواهیم داشت:

(44-14)                                    

که با کمی جابه جایی به معادله ی برنولی می رسیم.

 

 شکل 14-1، (a) یک مخزن پر از شاره که یک فشار سنج کوچک درون آن قرار دارد. (b) فشار سنج از یک استوانه، یک پیستون و یک فنر قرار گرفته در خلاء تشکیل شده است.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 14-3، فشار با افزایش عمق از سطح شاره افزایش می یابد.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 شکل 14-5، یک مانومتر با لوله ی باز. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 14- 6، شاره ی تراکم ناپذیر درون یک استوانه با پیستون متحرک قرار دارد. با افزایش تعداد ساچمه های سربی فشار در کل شاره به یک اندازه افزایش می یابد.

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 14-7، طرح کلی یک جک هیدرولیکی.

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 14-8، نیروی شناوری وارد شده به اجسام مختلف.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 14-10، لوله ای با سطح مقطع یکنواخت و شاره ای که با سرعت ثابت درون آن حرکت می کند.

 

شکل 14-11، یک لوله جریان که با خطوط جریان نشان داده شده است. چگالی خطوط در دو طرف لوله متفاوت است.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


شکل 14-12، شاره با آهنگ پایا از حالت اولیه (آبی) به حالت نهایی (سبز) حرکت می کند.