تعادل و کشسانی  

 

تعادل

این اجسام را درنظر بگیرید: (1) کتابی که در قفسه قرار دارد، (2) پاک هاکی که با سرعت ثابت روی سطح یخ زده می لغزد، (3) پره های چرخان یک پنکه و (4) چرخ یک دوچرخه که با سرعت ثابت در یک مسیر مستقیم در حال حرکت است. برای این چهار جسم:

1. اندازه حرکت خطی p مرکز جرم ثابت است.

2. اندازه حرکت زاویه ای L حول مرکز جرم، یا هر نقطه ی دیگری ثابت است.

در این حالت اجسام صلب یاد شده در بالا در حالت تعادل مکانیکی اند. به عبارت دیگر هر جسم صلب، در صورتی در حالت تعادل قرار دارد که که اگر از یک چارچوب مرجع لخت مشاهده شود: (1) شتاب خطی مرکز جرم آن و (2) شتاب زاویه ای آن نسبت به هر محور ثابتی در این چارچوب مرجع صفر باشد:

(1-12)                                                         

حالا اگر جسم در یک چارچوب مرجع در حال سکون باشد، می گوییم که جسم در حال ((تعادل ایستا)) ست.

 

شکل 12-2، برای افتادن دومینو ها مرکز جرم باید از خط عمدی گذرنده از تکیه گاه عبور کند.

شرایط لازم برای تعادل

حرکت انتقالی یک جسم توسط قانون دوم نیوتون به صورت زیر بیان می شود:

(2-12)                                                                    

اگر جسم در حال تعادل انتقالی باشد، p ثابت است، بنابراین خواهیم داشت:

(3-12)                                                                     

حرکت دورانی یک جسم توسط قانون دوم نیوتون به صورت زیر بیان می شود:

(4-12)                                                                    

اگر جسم در حال تعادل دورانی باشد، L ثابت است، بنابراین خواهیم داشت:

(5-12)                                                                     

به عبارت دیگر برای جسم در حال تعادل:

1. حاصل جمع برداری همه ی نیروهای خارجی که به جسم وارد می شود باید صفر شود.

(6-12)                                       

2. حاصل جمع برداری همه ی گشتاورهای خارجی که به جسم وارد می شود، حول هر نقطه ی ممکن باید صفر شود.

(7-12)                                       

3. و برای تعادل ایستا، اندازه حرکت خطی p و اندازه حرکت زاویه ای L جسم باید صفر باشد.

مرکز گرانی

برای یک جسم گسترده نیروی گرانشی، برایند تعدار زیادی نیروی گرانشی است که به هر ذره از جسم وارد می شود. بنابراین می توانیم بگوییم که (( نیروی گرانشی Fg اعمال شده به یک جسم به طور موثر به یک تک نقطه وارد می شود، که به آن مرکز گرانی (مرکز ثقل) جسم می گویند)). همچنین باید توجه داشته باشید که ((اگر شتاب گرانشی g برای تمام اجزاء جسم یکسان باشد (میدان گرانشی یکنواخت)، مرکز گرانی جسم همان مرکز جرم جسم است)).

شکل 12-3، جسمی به جرم M را نشان می دهد که در میدان گرانشی قرار دارد، اگر یک جزء از جسم به جرم mi را درنظر بگیریم نیروی گرانشی Fgiبه آن وارد می شود. با توجه به شکل هر یک از این نیروهای یک گشتاور حول مبدا O ایجاد می کند که برابر است با:

(8-12)                                                                      

گشتاور خالص روی همه ی اجزاء جسم برابر است با:

(9-12)                                                           

اکنون کل جسم را درنظر می گیریم. با توجه به شکل، نیروی گرانشی Fg وارد شده به مرکز گرانی جسم، یک گشتاور حول مبدا O ایجاد می کند:

 

که در آن xcog بازوی گشتاور است. نیروی گرانشی Fg جمع همه ی نیروهای گرانشی Fgi است، بنابراین می توانیم بنویسیم:

(11-12)                                                                

یادآوری می کنیم که گشتاور ایجاد شده توسط نیروی F با گشتاور خالص ایجاد شده توسط همه ی نیروهای Fgi برابر است، بنابراین خواهیم داشت:

(12-12)                                                           

(13-12)                                                                          

اگر میدان گرانشی یکنواخت باشد، (شتاب گرانشی برای تمام اجزاء جسم یکسان باشد)، می توانیم بنویسیم:

(14-12)                                                            

حاصل جمع تمام اجزاء جسم برابر است با M بنابراین خواهیم داشت:

(15-12)                                                              

جمله ی سمت چپ بیانگر مختصات مرکز جرم جسم است، بنابراین خواهیم داشت:

(16-12)                                                                  

که به ما می گوید در میدان های گرانشی  یکنواخت مرکز جرم همان مرکز گرانی جسم است.

 

شکل 12-3، (a) جزء جرم به جرم mi و نیروی وارد بر آن. (b) نیروی گرانشی وارد بر مرکز جرم جسم صلب پیوسته.

کشسانی

هنگامی که تعداد زیادی از اتم ها برای تشکیل یک جامد فلزی کنار هم جمع می شوند، آن ها در یک مکان تعادل در یک شبکه سه بعدی قرار می گیرند. اتم ها یکدیگر را بوسیله ی نیروهای بین اتمی (که مانند یک فنر بسیار ظریف عمل می کنند) نگه می داند. شبکه بلور به طور فوق العاده ای صلب است و این دلیل وجود اجسام صلبی مانند میز، خط کش فلزی و ... است. همه ی اجسام صلب تاحدودی قابلیت کشسانی دارند، که به این معنی است که ما می توانیم ابعاد آن ها را (به مقدار خیلی کم) بوسیله ی کشیدن، فشار دادن و تاب دادن تغییر داد.

شکل 12-5 ، سه روش ممکن برای تغییر ابعاد یک جسم، هنگامی که نیروی F به آن وارد می شود، نشان می دهد. در شکل12- 5 (a) استوانه کشیده می شود، در شکل12- 5 (b) استوانه بوسیله نیرویی که موازی با محور x است تغییر شکل می دهد و در شکل 12- 5 (c) یک جسم جامد درون یک شاره، تحت فشار بسیار زیاد از تمام جهات قرار گرفته. سه نوع تغییر شکل یاد شده در یک چیز مشترک اند و آن تنش است. شکل12- 5 (a) بیانگر تنش کششی، شکل12- 5 (b) بیانگر تنش برشی و شکل12- 5 (c) بیانگر تنش هیدرولیکی است. تنش عبارت است از نیرو بر واحد سطح و مقدار آن برابر است با:

(17-12)                                                             کرنش ضریب = تنش

که در آن کرنش، تغییر کسری طول است. در این رابطه، ضریب تناسب ضریب کشسانی نامیده می شود.

 

شکل 12- 5، (a) تنش کششی باعت افزایش طول استوانه می شود. (b) تنش برشی باعث تغییر شکل استوانه می شود. (c) کره تحت تنش هیدرولیکی تغییر حجم می دهد.

کشش و تراکم

برای یک کشش یا ترکم ساده، تنش به صورت F/A تعریف می شود. که در آن F نیروی عمودی وارد بر سطح A است. کرنش کمیتی بدون بعد است و برابر است با ΔL/L، (تغییر کسری طول نمونه). ضریب کشسانی برای تنش کششی، ضریب یانگ نامیده می شود و با E نشان داده می شود. بنابراین با توجه به رابطه ی تنش و کرنش خواهیم داشت:

(18-12)                                                             

برش

در موارد برش نیز تنش عبارت است از نیرو بر واحد سطح، اما در این حالت بردار نیرو در صفحه ی سطح قرار دارد (نسبت به حالت عمود بر آن). کرنش کمیتی بدون بعد است و برابر است با نسبت Δx/L. ضریب کشسانی برای تنش برشی، ضریب برشی نامیده می شود و با G نشان داده می شود. بنابراین با توجه به رابطه ی تنش و کرنش خواهیم داشت:

(19-12)                                                             

تنش هیدرولیکی

هنگامی که جسمی در شاره ای قرار می گیرد فشار p به آن وارد می شود و فشار نیز عبارت است از نیرو بر واحد سطح. در این حالت کرنش برابر است با ΔV/Vکه V حجم اولیه ی جسم و ΔVمقدار مطلق تغییرات حجم است.ضریب کشسانی برای تنش هیدرولیکی، ضریب کشیدگی نامیده می شود و با B نشان داده می شود. بنابراین با توجه به رابطه ی تنش و کرنش خواهیم داشت:

(20-12)                                                             

 

 شکل 12-1، صخره در حال تعادل ایستا.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 12- 4، اتم های یک فلز جامد در یک شبکه سه بعدی توزیع می شوند. فنر ها بیانگر نیروهای بین اتمی هستند.