غلتش، گشتاور و اندازه حرکت زاویه ای  

 

غلتش              

تاکنون فقط اجسامی را که حول یک محور ثابت دوران می کردند بررسی کردیم. اما اگر جسمی بغلتد علاوه بر حرکت دورانی حول یک محور، حرکت انتقالی نیز خواهد داشت. بنابراین حرکت یک جسم غلتان ترکیبی از حرکت انتقالی و حرکت دورانی است، شکل11-1.

برای بررسی چنین حرکتی با توجه به شکل 11-2 مشاهده می کنیم که اگر چرخ یک دوچرخه در روی جاده مستقیم حرکت کند، مرکز جرم چرخ O با سرعت ثابت vcom به طرف جلو حرکت می کند و نقطه ی P که نقطه ی تماس چرخ و خیابان است نیز با سرعت ثابت vcom به طرف جلو حرکت می کند. بعد از گذشت زمان t مشاهده می کنیم که نقطه های O وP به اندازه ی s به جلو حرکت کرده اند. مقدار s برابر است با:

(1-11)                                                                  

 

که در آن R شعاع چرخ است. با دیفرانسیل گیری نسبت زمان از معادله ی بالا سرعت مرکز جرم بدست می آید:

(2-11)                                                               

شکل 11-3 نشان می دهد که غلتش چرخ ترکیبی از حرکت دورانی و حرکت انتقالی است. مشاهده می کنیم که در حرکت دورانی محض (شکل ) تمام نقاط چرخ حول محور مرکزی با سرعت زاویه ای ω دوران می کنند و بزرگی سرعت در هر نقطه روی قسمت بیرونی چرخ برابر باvcom  است. در حرکت انتقالی خالص (شکل ) سرعت تمامی نقاط چرخ برابر با vcom است. با ترکیب دو شکل الف و ب (جمع بردارهای متناظر در شکل های الف و ب) ما نتیجه می گیریم که در حرکت غلتشی چرخ، سرعت نقطه ی تماس برابر صفر است و سرعت نقطه ی T در بالای چرخ دو برابر سرعت مرکز جرم است.

 

شکل 11-3، حرکت غلتشی چرخ دوچرخه ترکیبی از حرکت دورانی محض و حرکت انتقالی محض است.

غلتش هم ارز با حرکت دورانی محض

شکل 11-4، روش دیگری برای بررسی حرکت غلتشی را نشان می دهد. با توجه به این شکل مشاهده می کنیم که ترکیب حرکت انتقالی مرکز جرم و حرکت دورانی حول محوری که از مرکز جرم می گذرد، هم ارز است با یک حرکت دورانی محض با همان سرعت زاویه ای حول محوری که از نقطه ی تماس می گذرد. با توجه به این موضوع مشاهده می کنیم که فاصله ی نقطه بالایی چرخ T تا نقطه ی تماس برابر است با 2R و بنابراین سرعتاین نقطه برابر است با:

(3-11)                                               

انرژی جنبشی غلتش

برای بررسی انرژی جنبشی جسم غلتان، ما حرکت دورانی محض جسمی را که حول محوری که از نقطه تماس P می گذرد درنظر می گیریم. انرژی جنبشی این جسم برابر است با:

(4-11)                                                               

که در آن IP لختی دورانی نسبت به محوری است که نقطهی تماس می گذرد. با استفاده از قضیه ی محور های موازی داریم:

(5-11)                                                           

با جایگزین کردن این عبارت در معادله ی انرژی جنبشی (11-4) خواهیم داشت:

(6-11)                                                    

که در آن Icom لختی دورانی نسبت به محور موازی است که از مرکز جرم می گذرد. جمله اول معادله بالا بیانگر انرژی جنبشی دورانی جسم حول محور ی که از مرکز جرم می گذرد است و جمله دوم بیانگر انرژی جنبشی انتقالی جسم است در حالتی که با سرعت مرکز جرم حرکت انتقالی محض انجام می دهد، بنابراین می توانیم بنویسیم:

(7-11)                                                      

نیروی غلتش

اصطکاک و غلتش

اگر چرخی با سرعت ثابت بغلتد تمایلی برای لغزش در نقطه ی تماس ندارد و بنابراین در اینجا نیروی اصطکاک وارد عمل می شود. حالا اگر نیروی خالصی روی چرخ اثر کند و سرعت آن را بالا یا پایین ببرد، به مرکز جرم چرخ شتاب می دهد، اگر چرخ لغزش نداشته باشد نیروی اصطکاک ایستایی وارد عمل می شود (شکل11-5) و چرغ یک غلتش هموار انجام می دهد. بزرگی شتاب خطی مرکز جرم برابر است با:

(8-11)                                                               

که در آن α شتاب زاویه ای است. توجه داشته باشید اگر چرخ هنگامی که تحت تاثیر نیروی خالصی قرار دارد بلغزد، در این حالت نیروی اصطکاک جنبشی در نقطه ی تماس وارد عمل می شود و معادله بالا برای شتاب دیگر قابل استفاده نیست.

غلتش از سطح شیب دار

شکل 11-6، جسم دایره ای یکنواختی به جرم M و شعاع R را نشان می دهد که از سطح شیب دار ی با زاویه ی θ به پایین می غلتد. ما با ترسیم نیروی های وارد بر جسم شروع می کنیم:

1. نیروی گرانشی وارد بر جسم مستقیم به طرف پایین است و مولفه های آن در شکل نشان داده شده است.

2. نیروی عمودی سطح، عمود بر سطح شیبدار است و به نقطه ی تماس وارد می شود.

3. نیروی اصطکاک ایستایی به نقطه ی تماس وارد می شود و جهت آن به طرف بالای سطح شیب دار است.

با نوشتن قانون نیوتون برای مولفه های نیرو در راستای محور x داریم:

(9-11)                                                  

این معادله دو مجهول دارد fs و acom,x .برای پیدا کردن این دو مجهول باید قانون دوم نیوتون را برای حرکت دورانی در نظر بگیریم. در این مثال نیروی اصطکاک ایستایی داری بازوی گشتاور R است و بنابراین گشتاور Rfs را تولید می کند، که مثبت است چون تمایل دارد که جسم را در جهت پادساعتگرد بچرخاند. چون بازوی گشتاور نیروهای گرانشی و عمودی سطح صفر است، این دو نیرو گشتاوری تولید نمی کنند. بنابراین شکل زاویه ای قانون دوم نیوتون حول محوری که از مرکز جرم می گذرد عبارت است از:

(10-11)                                                           

 

چون جسم بدون لغزش می غلتد، می توانیم از معادله ی شتاب (acom=αR) استفاده کنیم. باید توجه داشته باشید که در این جا acom,x منفی است (در جهت مخالف محور x است) و با جایگزین کردن مقدار α از معادله ی شتاب خواهیم داشت:

(11-11)                                                        

 

و سر انجام با استفاده از معادله بدست آمده برای حرکت انتقالی جسم (معادله ی 11-9) خواهیم داشت:

(12-11)                                                 

یو یو

یک یو یو یک آزمایشگاه فیزیک است که شما می توانید در جیب خود قرار بدهید. هنگامی که یو یو به اندازه ی به طرف پایین حرکت می کند، انرژی پتانسیل آن به اندازه ی mgh کم می شود اما انرژی جنبشی آن که شامل انرژی جنبشی دورانی و انتقالی است افزایش می یابد و هنگام بالا رفتن انرژی جنبشی کاهش یافته و انرژی پتانسیل افزایش می یابد. برای پیدا کردن شتاب خطی یک یو یو که روی یک نخ می غلتد به پایین باید از قانون دوم نیوتون (مشابه کاری که برای غلتش روی سطح شیب دار انجام دادیم) استفاده کنیم. برای تحلیلی این موضوع باید به نکات زیر توجه داشته باشیم، (شکل 11-7):

1. بجای غلتش به سمت پایین از یک سطح شیب دار با زاویه ی θ نسبت به افق، یو یو از یک ریسمان که با افق زاویه ی θ=90 می سازد به پایین می لغزد.

2. بجای غلتش روی سطح خارجی با شعاع R، یو یو روی یک محور به شعاع R0 می غلتد.

3. بجای وجود نیروی اصطکاک ایستاییfs، یو یو در اثر نیروی T از طرف ریسمان کند می شود. 

بنابراین با در نظر گرفتن نکات بالا و استفاده از معادله ی شتاب خطی برابر است با:

(13-11)                                                    

گشتاور

در بخش های قبل در مورد گشتاور یک جسم صلب که حول یک محور ثابت دوران می کند بحث شد. اما در اینجا به بررسی گشتاور یک ذره که حول یک نقطه ی ثابت دوران می کند می پردازیم. برای منظور ما گشتاور را به صورت یک بردار درنظر می گیریم. شکل 11-8 به ما نشان می دهد که گشتاور وارد شده به یک ذره در اثر نیروی F نسبت به یک نقطه ی ثابت، برداری است که به صورت زیر تعریف می شود:

(14-11)                                                              

 

که در آن r فاصله ی ذره تا نقطه ی ثابت O است. با توجه به تعریف ضرب برداری، بزرگی گشتاور برابر است با:

(15-11)                                                            

که در آن Φزاویه ی بین بردار r و در حالتی که به دنبال هم رسم شده اند. جهت گشتاور نیز با استفاده از قاعده ی دست راست تعیین می شود. شکل 11-8. همچنین ما می توانیم بزرگی گشتاور را به صورت حاصل ضرب 

(16-11)                                                              

 شکل 11-8، تعریف گشتاور با استفاده از بردارهای نیرو و  مکان. (بردار گشتاور همواره بر بردارهای نیرو و مکان عمود است)

اندازه حرکت زاویه ای

یادآوری می کنیم که مفهوم اندازه حرکت خطی و اصل پایستگی اندازه حرکت خطی ابزارهای بسیار قدرتمندی برای درک مفاهیم فیزیکی و حل مسائل فیزیک هستند. در اینجا یک مفهوم مشابه با اندازه حرکت خطی به شما معرفی می کنیم که اندازه حرکت زاویه ای نام دارد. شکل 11-9 ذره ای به جرم m با اندازه حرکت خطی p=mv را نشان می دهد که از نقطه ی A عبور می کند. اندازه حرکت زاویه ایl  این ذره نسبت به مبدا کمیتی برداری است که به شکل زیر تعریف می شود:

(17-11)                                                    

که در آن r بردار مکان ذره نسبت به مبدا و v سرعت ذره است. یکای اندازه حرکت زاویه ای در دستگاه SI کیلوگرم متر مربع بر ثانیه است، که هم ارز است با ژول ثانیه. جهت اندازه حرکت زاویه ای با استفاده از قاعده ی دست راست تعیین می شود و بزرگی این بردار برابر است با:

(18-11)                                                         

که در آن Φزاویه ی بین بردار r و p در حالتی که به دنبال هم رسم شده اند. ما می توانیم معادله ی بالا را به دو شکل زیر بنویسیم:

(19-11)                                                       

(20-11)                                                        

که معادله ی اول p مولفه ی اندازه حرکت خطی عمود بر بردار مکان و v  مولفه ی سرعت عمود بر بردار مکان است. و در معادله ی دوم r فاصله ی عمودی بین مبدا و امتداد بردار اندازه حرکت خطی است. توجه داشته باشید که (1) اندازه حرکت زاویه ای فقط نسبت به یک مبدا معین معنی دارد و (2) جهت آن همیشه عمود بر صفحه ای است که بردارهای مکان و اندازه حرکت خطی در آن قرار دارند.

قانون دوم نیوتون در شکل زاویه ای

قانون دوم نیوتون به شکل زیر نوشته می شود:

(21-11)                                                           

که بیان کننده ی رابطه ی بین نیرو و اندازه حرکت خطی یک ذره است. با توجه به معادله ی بالا می توانیم حدث بزنیم که رابطه بین گشتاور و اندازه حرکت زاویه ای به شکل باید باشد:

(22-11)                                                           

یعنی جمع برداری همه ی گشتاور های وارد شده به یک ذره برابر است با آهنگ زمانی تغییر اندازه حرکت زاویه ای ذره. برای اثبات این رابطه با دیفرانسیل گیری نسبت به زمان از اندازه حرکت زاویه ای شروع می کنیم:

(23-11)                                                        

(24-11)                                              

با توجه به اینکه dv/dt برابر است با شتاب ذره a و dr/dt برابر است با سرعت ذره v ، خواهیم داشت:

(25-11)                                                 

اکنون، می دانیم که ضرب برداری هر بردار در خودش برابر صفر است. بنابراین:

(26-11)                                                

و با استفاده از قانون دوم نیوتون خواهیم داشت:

(27-11)                                               

جمله ی سمت راست معادله ی بالا بیانگر گشتاور وارد شده به ذره است. بنابراین:

(28-11)                                                            

اندازه حرکت زاویه ای سیستم ذرات

اندازه حرکت زاویه ای کل L سیتم ذرات برابر است با حاصل جمع برداری اندازه حرکت زاویه ای تک تک ذرات تشکیل دهنده ی سیستم:

(29-11)                                          

با دیفرانسیل گیری نسبت به زمان از معادله ی بالا خواهیم داشت:

 (30-11)                                                         

بنابراین آهنگ تغییرات اندازه حرکت زاویه ای سیستم ذرات برابر است با حاصل جمع براداری گشتاور وارد شده به تک تک ذرات. توجه داشته باشید که فقط گشتاور خارجی وارد شده به ذرات اندازه حرکت زاویه ای کل سیستم ذرات را تغییر می دهد. بنابراین اگر τnet  گشتاور خارجی خالص وارد شده به سیستم ذرات باشد، خواهیم داشت:

(31-11)                                                       

بنابراین می توانیم بنویسیم:

(32-11)                                                              

اندازه حرکت زاویه ای جسم صلب

با توجه به شکل 11-10، برای جسم صلبی که حول محور  ثابت z می چرخد، اندازه حرکت زاویه ای جزء جرم Δm نسبت به مبدا برابر است با:

(33-11)                                        

که در آن pi و vi اندازه حرکت خطی و سرعت خطی جزء جرم و 90 ͦ زاویه ی بین بردار اندازه حرکت خطی و بردار مکان است. حالا آن مولفه از li را که با محور دوران موازی است (در اینجا محور z) محاسبه می کنیم:

(34-11)                              

بنابراین مولفه ی z اندازه حرکت زاویه ای جسم صلب برابر است با:

(35-11)                  

جمله ی داخل پرانتز بیانگر لختی دورانی جسم حول محور ثابت است، بنابراین می توانیم بنویسیم:

(36-11)                                                               

پایستگی اندازه حرکت زاویه ای

با توجه به قانون دوم نیوتون در شکل زاویه ای، اگر گشتاور خارجی خالص روی سیستم وارد نشود، داریم dL/dt=0 به عبارت دیگر:

 (37-11)                                                            

این نتیجه قانون پایستگی اندازه حرکت زاویه ای نامیده می شود. و به ما می گوید که اگر گشتاور خارجی خالصی وارد شده به سیستم صفر باشد، اندازه حرکت زاویه ای سیستم ثابت باقی می ماند:

(38-11)                                                               

 

 شکل 11-1، مسیر حرکت یک نقطه ی ثابت روی جسم در حال غلتش (ترکیبی از حرکت دورانی و انتقالی)

 

 شکل 11-2، حرکت غلتشی چرخ دوچرخه، مرکز چرخ به اندازه ی s به جلو حرکت کرده است.

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 11-4،حرکت دورانی محض حول محوری که از نقطه ی تماس عبور می کند.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 11- 5، به چرخی  که بدون لغزش می غلتد، یک نیروی اصطکاک ایستای در جهت نشان داده شده در نقطه ی تماس وارد می شود. 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 11- 6، نیروهای وارد بر یک جسم غلتان از یک سطح شیب دار. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 11-7، (a) یک یو-یو که که حرکت غلتشی انجام می دهد. (b) نیروهای وارد بر یو- یو. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 11-9،تعریف اندازه حرکت زاویه ای با استفاده از بردارهای اندازه حرکت خطی و مکان.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 11-10، (a) جسم صلبی که حول محور z حرکت دورانی انجام می دهد. (b) بردار اندازه حرکت زاویه ای جزء جرم.