دوران  

 

متغییر های دوران

در قسمت های قبل فقط با حرکت انتقالی سرو کار داشتیم که در آن جسم در طول یک مسیر مستقیم یا منحنی حرکت می کرد. ما اکنون حرکت دورانی یک جسم صلب را بررسی می کنیم. جسم صلب طبق تعریف جسمی است که اندازه و شکلش تغییر نکند. به عبارت دیگر فاصله ی میان اجزای سازنده اش ثابت باشد. شکل 10-1، جسمی صلبی را نشان می دهد که حول یک محور دوران، می چرخد. در حرکت دورانی محض (حرکت زاویه ای) هر نقطه از جسم، روی یک مسیر دایره ای حول محور دوران حرکت می کند.

مکان زاویه ای

هنگامی که یک جسم صلب حرکت دورانی انجام می دهد، نقاط مختلف جسم جابه جایی های خطی متفاوتی دارند ولی جابه جایی زاویه ای همه ی آن ها یکی است. اگر مطابق شکل یک خط مرجع را که در جسم ثابت شده است در نظر بگیریم، مکان زاویه ای این خط برابر است با زاویه بین این خط و یک راستای ثابت (مکان زاویه ای صفر). مکان زاویه ای را با θ نشان می دهند و طبق تعریف بر حسب رادیان برابر است با نسبت طول قوس مقابل به شعاع دایره:

(1-10)                                                                    

 

زاویه ی تعریف شده در بالا برحسب رادیان (rad) اندازه گیری می شود. دیگر یکاهای اندازه گیری زاویه عبارت اند از دوران کامل (rev) و یا درجه که به صورت زیر به هم مربوط می شوند:

(2-10)                                                

یا:

(3-10)                                                   

جابه جایی زاویه ای

تغییر در مکان زاویه ای یک نقطه از جسم در حال دوران از θ1 بهθ2جابه جایی زاویه ای نامیده می شود و برابر است با:

(4-10)                                                            

توجه داشته باشید که جابه جایی زاویه ای که در جهت پادساعتگرد صورت می گیرد مثبت، و جابه جایی زاویه ای که در جهت ساعتگرد صورت می گیرد منفی است.

سرعت زاویه ای

سرعت زاویه ای متوسط در بازه ی زمانیΔ طبق تعریف برابر است با:

(5-10)                                                         

و شبیه به آنجه که در حرکت انتقالی دیدیم، سرعت زاویه ای لحظه ای برابر است با آهنگ جابه جایی زاویه ای نسبت به زمان:

(6-10)                                                           

در سیستم SI یکای سرعت زاویه ای رادیان بر ثانیه است.

شتاب زاویه ای

اگر سرعت زاویه ای یک جسم در حال دوران ثابت نباشد، جسم یک شتاب زاویه ای دارد. اگر Δω تغییرات سرعت زاویه ای در بازه ی زمانی Δtباشد. شتاب زاویه ای متوسط برابر است با:

(7-10)                                                         

و شتاب زاویه ای لحظه ای طبق تعریف عبارت است از:

(8-10)                                                          

یکای شتاب زاویه ای در سیستم SI رادیان بر مجذور ثانیه (rad/s2) یا دور بر مجذور ثانیه (rev/s2) است.

 آیا کمیت های زاویه ای بردار هستند؟

ما می توانیم مکان، سرعت و شتاب یک ذره را توسط بردارها بیان کنیم. در مورد جسمی که در راستای یک محور، حرکت دورانی انجام می دهد نیز می توان مکان، سرعت و شتاب یک ذره را توسط بردارها بیان کرد. بردار سرعت زاویه ای در راستای محور دوران است و جهت آن با استفاده از قاعده ی دست راست تعیین می شود. مطابق شکل 10-4، اگر دست راست را طوری بگیریم که جهت خم شدن چهار انگشت در جهت چرخش جسم باشد، انگشت شست (در حالت کشیده) جهت سرعت زاویه ای را نشان می دهد. بردار شتاب زاویه ای نیز، در جهت تغییر بردار سرعت زاویه ای است.

 

شکل 10-4، تعیین جهت بردار سرعت زاویه ای با استفاده از قاعده ی دست راست.

دوران با شتاب زاویه ای ثابت

در حرکت انتقالی خالص با شتاب خطی ثابت (برای مثال سقوط آزاد) یک سری از معادلات را بدست آوردیم. برای حرکت دورانی خالص با شتاب ثابت نیز می توان چنین معادلاتی را تعیین کرد. با جایگزین کردن مکان x، سرعت v و شتاب  aدر معادلات مربوط به حرکت انتقالی به ترتیب با مکان زاویه ای θ، سرعت زاویه ای ω و شتاب زاویه ای α معادلات حرکت دورانی به شکل زیر داده می شود:

جدول10-1، معادلات حرکت برای حرکت با شتاب خطی ثابت و شتاب زاویه ای ثابت.

ارتباط بین متغییر های خطی و زاویه ای

مکان

اگر یک نقطه از جسم صلب که در فاصله ی r از محور دوران قرار دارد به اندازه ی زاویه ی θ بچرخد، این نقطه مسافت s را در طول یک قوس دایره ای طی می کند که اندازه ی آن برابر است با:

(9-10)                                                                  

سرعت

با دیفرانسیل گیری معادله ی بدست آمده در قسمت قبل نسبت به زمان (r ثابت) خواهیم داشت:

(10-10)                                                              

با توجه به اینکه ds/dt بیانگر سرعت خطی و dθ/dt بیانگر سرعت زاویه ای است، خواهیم داشت:

(11-10)                                                                

توجه داشته باشید که سرعت زاویه ای باید برحسب رادیان اندازه گیری شود. اگر سرعت زاویه ای یک جسم صلب ثابت باشد، معادله بالا به ما می گوید که سرعت خطی یک نقطه درون جسم نیز ثابت است و زمان یک دور چرخش کامل جسم (دوره ی تناوب حرکت دورانی) برابر است با:

(12-10)                                                               

بنابراین با جایگزینی v از معادله ی10-11، خواهیم داشت:

(13-10)                                                                

شتاب

با دیفرانسیل گیری نسبت به زمان (r ثابت) از معادله ی 10-11، خواهیم داشت:

(14-10)                                                            

اگر در حرکت دورانی اندازه سرعت نیز تغییر کند با توجه به اینکه dv/dt بیانگر شتاب خطی و dω/dt بیانگر شتاب زاویه ای است خواهیم داشت:

(15-10)                                                              

کمیت dv/dt را شتاب مماسی می نامند و باa نشان می دهند. به علاوه چون ذره روی یک مسیر دایره ای حرکت می کند دارای شتاب مرکز گرای خطی ar=v2/r است.این شتاب بر حسب سرعت زاویه ای برابر است با:

(16-10)                                                       

توجه داشته باشید که در حالت کلی (وقتی که هم بزرگی و هم جهت سرعت خطی ذره ی دوران کننده تغییر کند) شتاب خطی کل، برایند دو مولفه ی شعاعی (مرکزگرا) و مماسی است.

انرژی جنبشی دورانی

جسمی متشکل از ذراتی به جرم mi را درنظر بگیرید که حول محوری که مکان و جهتش ثابت است دوران می کند. انرژی جنبشی این جسم برابر با مجموع انرژی جنبشی های ذرات تشکیل دهنده ی جسم است. بنابراین انرژی جنبشی جسم برابر است با:

(17-10)                                

که در آن m جرم و vi سرعت ذره ی iام است. چون سرعت زاویه ای (vi ri) برای تمام ذرات جسم یکسان است داریم:

(18-10)                                         

که در آنr فاصله عمودی ذرات از محور دوران است. کمیت داخل پرانتز در قسمت راست معادله بالا را لختی دورانی (یا گشتاور لختی) جسم نسبت به محور دوران می نامند و با نشان می دهند:

(19-10)                                                              

و انرژی جنبشی برحسب لختی دورانی عبارت است از:

(20-10)                                                              

توجه داشته باشید که لختی دورانی هر جسمی معیاری از مقاومت آن جسم در مقابل تغییر سرعت زاویه ای است. یعنی I در حرکت دورانی همان نقشی را دارد که m در حرکت انتقالی دارد.

محاسبه ی لختی دورانی

وقتی توزیع جرم در یک سیستم پیوسته باشد جمع گسسته تبدیل به انتگرال می شود، بنابراین لختی دورانی برابر است با:

(21-10)                                                             

که در آن dm جرم یک جزء بسیار کوچک از جسم می باشد که در فاصله ی r از محور دوران قرار دارد.

جدول 10-2، لختی دورانی اجسامی با شکل های هندسی متقارن.

قضیه ی محورهای موازی

قضیه ی محور های موازی رابطه ی بین لختی دورانی حول هر محوری (I) را با لختی دورانی حول محور موازی گذرنده از مرکز جرم (Icom) بیان می کند. این قضیه به شکل زیر بیان می شود:

(22-10)                                                      

که در آن M جرم جسم و h فاصله ی بین محور دوران و مرکز جرم است. برای اثبات این قضیه جسم صلبی را در نظر می گیریم که مرکز جرم آن در نقطه ی O قرار دارد (شکل10-8). اگر جسم حول محوری که از نقطه ی P عبور می کند (این محور با محوری که از نقطه ی O عبور می کند موازی است) حرکت دورانی انجام دهد، با توجه به شکل 10-8 می توانیم بنویسیم:

(23-10)                                 

که در آن a و b مختصات نقطه ی Pوxوy مختصات مکان جزءdm  نسبت به محور گذرنده از مبدا (در اینجا محور گذرنده از مرکز جرم) است. با کمی محاسبات ریاضی خواهیم داشت:

(24-10)                

با توجه به تعریف مرکز جرم متوجه می شویم که دو انتگرال میانی معادله ی بالا مختصات مرکز جرم را می دهند و بنابر فرض ما هر دو باید صفر شوند. انتگرال اول بیانگر لختی دورانی حول محور گذرنده از مرکز جرم است و با توجه به شکل، انتگرال آخر برابر است با Mh2   و b مقادیر ثابتی هستند).

گشتاور

هنگامی که می خواهیم قوانین نیوتون را در مورد دوران اجسام به کار ببریم، با کمیتی به نام گشتاور ( τ) مواجه می شویم که مشابه نیرو، حرکت خطی است. همان طور که نیرو شتاب خطی ایجاد می کند گشتاور نیز موجب شتاب زاویه ای می شود. به طور کلی گشتاور ناشی از نیروی F که در فاصله ی r از مبدا اثر می کند به صورت زیر تعریف می شود (شکل):

(25-10)                                                          

دو روش هم عرض برای محاسبه ی گشتاور وجود دارد:

(26-10)                                                      

(27-10)                                                     

که در آن r فاصله عمودی مبدا از خط اثر نیرو است که به آن بازوی گشتاور گفته می شود و Ft مولفه ی عمودی نیرو است. بنابراین فقط مولفه ی عمودی نیرو است که باعث دوران جسم می شود. یکای گشتاور در دستگاه SI نیوتون-متر است.

قانون دوم نیوتون برای دوران

گشتاور می توان باعث دوران اجسام صلب شود. هنگامی که گشتاور خالص روی یک جسم صلب اثر می کند، شتاب زاویه ای باعث دوران جسم می شود. با توجه به قانون دوم نیوتون برای حرکت خطی (Fnet=ma) ما با جایگزین کردن نیرو با گشتاور، جرم با لختی دورانی و شتاب خطی با شتاب زاویه ای قانون دوم نیوتون برای دوران به شکل زیر تعیین می شود:

(28-10)                                                                

برای اثبات این معادله فرض می کنیم که ذره ای به جرم تحت اثر نیروی F حرکت دورانی انجام می دهد (شکل10-12). با توجه به قانون دوم نیوتون می توانیم بنویسیم:

(29-10)                                                                

که در آنa شتاب مماسی ذره است. گشتاور اعمال شده روی ذره برابر است با:

(30-10)                                                            

با توجه به اینکه at=αr می توانیم بنویسیم:

(31-10)                                                    

که عبارت داخل پرانتز بیانگر لختی دورانی ذره است، بنابراین در حالت کلی داریم:

(32-10)                                                                 

کار و انرژی جنبشی دورانی

هنگامی که نیروی F روی جسم کار W را انجام می دهد انرژی جنبشی جسم تغییر می کند، فرض می کنیم که تنها انرژی جنبشی تغییر می کند. بنابراین با توجه به قضیه ی کار انرژی جنبشی خواهیم داشت:

(33-10)                                       

که در آن (حالت یک بعدی):

(34-10)                                                           

اگر نیرو ثابت باشد و تغییر مکان جسم برابر d باشد، توان برابر است با:

(35-10)                                                          

 

برای حرکت دورانی نیز مانند حرکت خطی قضیه ی کار انرژی جنبشی به شکل زیر در می آید:

(36-10)                                      

و کار انجام شده در این چرخش عبارت است از:

(37-10)                                                          

اگر گشتاور ثابت باشد، خواهیم داشت:

(38-10)                                                       

آهنگ انجام کار، توان نامیده می شود، بنابراین توان در حرکت دورانی عبارت است از:

(39-10)                                                        

 

جدول 10-3، روابط متناظر برای حرکت انتقالی و دورانی

 

       

 

 شکل 10-1، حرکت دورانی یک جسم صلب حول محور دوران، هر نقطه از جسم روی یک مسیر دایره ای دوران می کند.

 

 شکل 10-2، سطح مقطه جسم در حال دوران شکل 10 -1 از بالا، با جابه جایی زاویه ای مثبت.

 

 

 

 

 

 شکل 10-3، تغییر زاویه برابر است با جابه جایی زاویه ای.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 10- 5، سرعت خطی هر نقطه از جسم صلب در حال دوران بر مسیر دایره ای حرکت آن نقطه مماس است.

شکل 10- 6،شتاب خطی  دو مولفه ی دارد؛ شتاب مماسی و شتاب مرکز گرا. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 10-7، دوران یک میله صلب حول محور مرکزی آن (a) خیلی راحت تر از دوران آن حول محوری است که از مرکز آن می گذرد و بر میله عمود است (b). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 10- 8، سطح مقطع جسم صلبی با مرکز جرم در نقطه ی O .

 

 

 

 

 

 

 

شکل 10- 9، گشتاور ناشی از این نیرو باعث دوران جسم حول محور دوران می شود.

شکل 10- 10، تنها مولفه ی مماسی نیرو باعث دوران می شود.

 شکل 10- 11، ما می توانیم گشتاور را با استفاده از حاصل ضرب طول بازوی گشتاور در بزرگی کل نیرو محاسبه کنیم.

 

 

 

 

 

شکل 10- 12، گشتاور ناشی از مولفه ی مماسی نیرو باعث ایجاد شتاب زاویه ای حول محور دوران می شود.