انرژی پتانسیل و پایستگی انرژی  

 

کار و انرژی پتانسیل

انرژی پتانسیل انرژی است که به وضعیت نسبی دو یا جند ذره که با یکدیگر برهمکنش دارند وابسته است. در قسمت های قبلی در باره ی ارتباط بین کار و انرژی جنبشی بحث کردیم. اینجا ما رابطه ی بین کار و انرژی پتانسیل را بررسی می کنیم. هنگامی که جسمی را به طرف بالا پرتاب می کنیم، طی بالا رفتن جسم، نیروی گرانشی، کار منفی Wg را روی جسم انجام می دهد و انرژی پتانسیل سیستم زمین جسم افزایش می یابد. در نیمه ی دوم حرکت، بعد از یک توقف کوتاه جسم سقوط می کند. در طول سقوط کار مثبت Wg توسط نیروی گرانشی روی جسم انجام می شود و انرژی پتانسیل سیستم زمین جسم کاهش یافته  و به انرژی جنبشی جسم تبدیل می شود (شکل 8-1). بنابراین می توانیم بگوییم که تغییر در انرژی پتانسیل برابر است با منفی کار انجام شده روی جسم توسط نیروی گرانشی:

(1-8)                                                                          

 

نیروهای پایستار و ناپایستار

در قسمت های قبل دیدیم که نیروی گرانشی و همچنین کار نیروی فنر فقط به مکان های اولیه و نهایی جسم بستگی دارد و مستقل از مسیر است. اما کاری که نیروی مثلا نیروی اصطکاک انجام می دهد، علاوه بر نقاط اول و آخر به طول مسیر وابسته است. نیروی گرانشی و نیرویی که یک فنر ایده آل اعمال می کند، نیروهای پایستار نامیده می شود ولی نیروی اصطکاک نمونه ای از نیروهای ناپایستار است.

هنگامی که ذره ای مطابق شکل 8 -2 تحت تاثیر نیروی پایستار از a به b حرکت می کند، کاری که این نیرو روی ذره انجام می دهد برای هر دو مسیر 1 و 2 یکی است:

(2-8)                                                                       

حالا اگر ذره از مسیر 2 بازگردد، شکل 8 -2 (b) ، نیرو تغییر نمی کند ولی جابه جایی های کوچک در این مسیر در جهت مخالف حرکت قبلی است. پس علامت کار عوض می شود:

(3-8)                                                                      

و می توانیم بنویسیم:

(4-8)                                                                  

یعنی کار نیروی پایستار در طی هر مسیر بسته برابر صفر است.

توجه داشته باشید که برای آنکه کار نیروی پایستار مستقل از مسیر حرکت باشد، لازم است که نیرو فقط تابعی از مکان باشد، نه تابعی از سرعت یا زمان.

 

تعیین مقدار انرژی پتانسیل

در این قسمت ابتدا رابطه ی بین نیرو های پایستار و انرژی پتانسیل مربوط به آن ها را بررسی می کنیم. هنگامی که ذره ای تحت عمل نیروی پایستار F قرار دارد، تغییر در انرژی پتانسیل سیستم برابر است با منفی کار انجام شده توسط نیروی F، با توجه به تعریف کار داریم:

(5-8)                                                                    

این معادله کار انجام شده توسط نیروی F را وقتی ذره از مکان xi به مکان xf حرکت می کند نشان می دهد (چون نیرو F پایستار است و کار انجام شده توسط آن فقط به مکان اولیه و نهایی ذره بستگی دارد). در طی این تغییر مکان، تغییر انرژی پتانسیل سیستم برابر است با:   

(6-8)                                                                 

توجه داشته باشید که انرژی پتانسیل را فقط برای برای نیروهای پایستار می توان تعریف کرد، چون فقط کار انجام شده توسط چنین نیروهایی مستقل از مسیر است.

انرژی پتانسیل گرانشی

هنگامی که ذره ای به جرم m از مکان yi به مکان yf جابه جا می شود، در طی این تغییر مکان نیروی Fg روی ذره کار انجام می دهد، بنابراین داریم:

(7-8)                                            

که نتیجه می دهد:

(8-8)                                                           

(9-8)                                                                

حالا اگر مرجع پتانسیل را در yi = 0  و انرژی پتانسیل در این نقطه را صفر در نظر بگیریم، خواهیم داشت:

(10-8)                                                                      

انرژی پتانسیل کشسان (الاستیک)

در مورد سیستم فنر جسم، مطابق شکل 8-3،  با حرکت جسم در امتداد طول فنر، نیروی فنر Fx روی جسم کار انجام داده و باعث تغییر در انرژی پتانسیل آن می شود. هنگامی که سر آزاد فنر از مکان xi به مکان xf جابه جا می شود، داریم:

(11-8)                            

با توجه به اینکه در مکان xi = 0 انرژی پتانسیل برابر صفر است، خواهیم داشت:

(12-8)                                                                

بنابراین، انرژی پتانسیل فنر برابر است با:

(13-8)                                                                     

 

پایستگی انرژی مکانیکی

انرژی مکانیکی Emec یک سیستم برابر است با مجموع انرژی جنبشی K و پتانسیل  Uآن سیستم:

(14-8)                                                                      

 

هنگامی که ذره فقط تحت تاثیر نیروهای پایستار باشد. این نیروها کار W را روی یک شیء درون سیستم انجام می دهند، این نیروها انرژی را بین انرژی جنبشی شیء K و انرژی پتانسیل سیستم U منتقل می کنند. با استفاده از معادله ی 7-10، تغییر انرژی جنبشی شیء برابر است با:

(15-8)                                                                          

و با استفاده از معادله ی 8-1، تغییر انرژی پتانسیل سیستم برابر است با:

(16-8)                                                                          

با ترکیب دو معادله ی بالا خواهیم داشت:

(17-8)                                                                        

به عبارت دیگر داریم:

(18-8)                                                             

با توجه به معادله ی 8-18، می توانیم بنویسیم:

(19-8)                                                               

یعنی اگر چه انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل ذره تغییر می کند ولی حاصل جمع آن ها در تمامی نقاط یکی است. با استفاده از تعریف انرژی مکانیکی داریم:

(20-8)                                                           

که این معادله بیانگر اصل پایستگی انرژی مکانیکی است. توجه داشته باشید که این اصل را وقتی می توان به یک سیستم اعمال کنیم که فقط نیروهای پایستار در آن سیستم عمل کنند. اصل پایستگی انرژی مکانیکی برای یک آونگ توسط شکل 8-4، به خوبی نشان داده شده است. 

شکل 8-4،  یک آونگ با جرم متمرکز در انتهای آن که یک چرخه ی کامل را طی می کند. با توجه به پایستگی انرژی مکانیکی، انرژی کل  آونگ ثابت است. در قسمت های (a) و (e) کل انرژی به صورت انرژی جنبشی وجود دارد و در قسمت های (c) و (g) کل انرژی به شکل انرژی پتانسیل است.  در بقیه قسمت ها هر دو شکل انرژی وجود دارد. 

 

بررسی منحنی انرژی پتانسیل

در این قسمت ما فرض می کنیم در حالی که نیروی پایستار روی ذره کار انجام می دهد، ذره مقید به حرکت در راستای محور x است. و با استفاده از نمودار انرژی پتانسیل سیستم به بررسی حرکت آن می پردازیم.

پیدا کردن نیرو به روش تحلیلی

برای حرکت یک بعدی، کار انجام شده توسط نیروی پایستار F در جابه جایی به اندازه ی Δx برابر است باF(x)Δ بنابراین می توانیم بنویسیم:

(21-8)                                                           

با حل این معادله برای نیروی پایستار و حد گیری در جابه جایی های خیلی کوچک داریم:

 (22-8)                                                                     

بنابراین نیروهای پایستار از تابع اسکالر انرژی پتانسیل مشتق می شوند.

منحنی تغییر انرژی پتانسیل

شکل 8-5 (a) نمودار تابع انرژی پتانسیل را برای یک ذره (برای حرکت یک بعدی) که تحت تاثیر نیروی پایستار F قرار دارد، نشان می دهد. ما می توانیم به راحتی از روی شیب منحنی U ، نیروی را پیدا کنیم، (شکل 8-5 (b )).

نقاط برگشت

در غیاب نیروهای ناپایستار انرژی مکانیکی سیستم به صورت زیر داده می شود:

(23-8)                                                              

و انرژی جنبشی برابر است با:

(24-8)                                                              

با فرض ثابت بودن Emec در نقاطی که انرژی پتانسیل با انرژی مکانیکی برابر است، انرژی جنبشی صفر می شود. (نقطه یx1 در شکل 8-5 (d)) به این نقاط، نقاط بازگشت می گویند چون جهت حرکت در این نقاط تغییر می کند.

    

                                       (a)                                                                               (b)

 

                                       (c)                                                                               (d)

                                       (e)                                                                               (f)

 شکل 8-5، نمودار انرژی پتانسیل- مکان، برای ذره ای که تحت تاثیر نیرو های پایستار در جهت مثبت محور x در حرکت است.  

 

نقاط تعادل

در شکل 8-5 (f)، سه مقدار مختلف برای انرژی مکانیکی Emec نشان داده شده است. هنگامی که انرژی مکانیکی برابر 4 ژول باشد (خط ارغوانی) نقاط بازگشت عبارت است از x1 و x5 . همچنین در هر نقطه ای در طرف راست x5 انرژی مکانیکی سیستم برابر با انرژی پتانسیل است و انرژی جنبشی آن صفر است نیرویی بر آن وارد نمی شود. به این نقاط، نقاط تعادل خنثی (نقاط تعادل بی تفاوت) می گویند. هنگامی که انرژی مکانیکی برابر 3 ژول باشد (خط صورتی). در این صورت سه نقطه ی بازگشت داریم، اگر ذره دقیقا در نقطه ی x3 قرار بگیرد، ذره در این نقطه ثابت باقی می ماند. اگر ذره کمی از وضعیت x3 جابه جا شود تحت تاثیر نیرو ی وارد به آن به حرکت خود ادامه می دهد. چتنین نقاطی را نقاط تعادل ناپایدار می گویند. اگر رفتار ذره در انرژی مکانیکی 1 ژول ( خط سبز) را در نظر بگیریم، اگر ذره را در مکان x4 قرار دهیم، ذره در این نقطه ثابت باقی می ماند و نمی تواند به راست یا چپ حرکت کند (چون انرژی جنبشی منفی می شود) و اگر ذره را کمی به راست یا چپ منحرف کنیم، ذره توسط نیروی بازگردان به مکان اولیه خود باز می گردد. چنین نقاطی را نقاط تعادل پایدار می گویند.

 

کار انجام شده توسط نیروی خارجی

بدون اصطکاک

همان طور که قبلا گفته شد، کار یعنی انرژی منتقل شده به یا از  یک سیستم بوسیله ی نیروی خارجی اعمال شده روی سیستم. کار خارجی برابر با منفی کار داخلی است. پس کار خارجی مثبت باعث افزایش انرژی پتانسیل سیستم می شود.

هنگامی که بیش از یک نیرو روی ذره اعمال می شود، کار خالص انرژی را منتقل می کند و برای حالتی که اصطکاک وجود ندارد، تغییر انرژی سیستم برابر است با:

(25-8)                                                                     

یا:

(26-8)                                                                       

 

در اینجا ΔEmec تغییر انرژی مکانیکی سیستم است. این دو معادله که در شکل 8-6 نشان داده شده اند، هم ارز ااند با کار انجام شده روی سیستم بوسیله ی نیروی خارجی، هنگامی که اصطکاک وجود ندارد.

 

شامل اصطکاک

به شکل 8-7 نگاه کنید. یک نیروی ثابت افقی F جسم را در راستای محور x هل می دهد، جابه جایی جسم برابر است با d و سرعت جسم از v0   به  v افزایش می یابد. در طی حرکت یک نیروی اصطکاک جنبشی fk ثابت به جسم وارد می شود. حالا اگر جسم و سطح را به عنوان یک سیستم درنظر بگیریم، (شکل 8-8) می توانیم قانون دوم نیوتون را به شکل زیر برای آن بنویسیم:

(27-8)                                                                      

 

چون نیرو ثابت است، شتاب حرکت نیز ثابت است. بنابراین با استفاده از معادله ی 2-14، می توانیم بنویسیم:

(28-8)                                                                         

با حل این معادله برای a و قرار دادن در معادله ی 8-27، خواهیم داشت:

(29-8)                                                                     

با استفاده از تعریف تغییر انرژی جنبشی می توانیم بنویسیم:

(30-8)                                                                              

در حالت کلی، تغییر انرژی پتانسیل نیز می تواند در مسئله وجود داشته باشد. در این صورت، معادله ی 8-30، به شکل زیر بازنویسی می شود:

(31-8)                                                              

هنگامی نیروی اصطکاک جنبشی روی سیستم اثر می کند. انرژی گرمایی Eth سیستم افزایش می یابد. (این انرژی مربوط به حرکت تصادفی اتم ها و ملکول های سیستم است). این افزایش  برابر است با حاصل ضرب نیروی اصطکاک جنبشی و جابه جایی جسم:

(32-8)                                                                      

بنابراین ما می توانیم معادله ی 7-30، را به شکل زیر بنویسیم:

(33-8)                                                             

که در آن Fd کار انجام شده توسط نیروی خارجی است. بنابراین وقتی اصطکاک وجود داشته باشد کار انجام شده توسط نیروی خارجی F برابر است با:

(33-8)                                                             

 

شکل 8-7، (a) نیروی F جسم را روی سطحی با اصطکاک هل می دهد. (b) سطح و جسم به عنوان یک سیستم درنظر گرفته می شود.

 

پایستگی انرژی

 قانون پایستگی انرژی بیانگر این مطلب است که انرژی ممکن است از صورتی به صورت دیگر تبدیل شود، اما هرگز امکان ندارد خلق یا نابود شود. به عبارت دیگر انرژی کل E یک سیستم (حاصل جمع انرژی مکانیکی، انرژی گرمایی و هر نوع دیگر از انرژی گرمایی است) فقط در صورتی تغییر می کند که مقداری انرژی از یا به آن منتقل شود. بنابراین اگر کار W روی سیستم انجام شود، خواهیم داشت:

 (34-8)                                                  

که در آن ΔEmec تغییرات انرژی مکانیکی، ΔEth تغییرات انرژی گرمایی و ΔEint تغییرات انواع دیگر انرژی های داخلی سیستم است.

سیستم منزوی

اگر سیستمی از محیط اطراف خود مجزا باشد. انرژی نمی تواند به یا از سیستم منتقل شود. بنابراین برای سیستم های منزوی (ایزوله) قانون پایستگی انرژی به شکل زیر تعریف می شود:

((انرژی کل E یک سیستم منزوی نمی تواند تغییر کند))

بنابراین برای سیستم های منزوی داریم:

(35-8)                                                         

به عبارت دیگر می توانیم بنویسیم:

(36-8)                                                  

توان

توان وابسته به یک نیرو، عبارت است از آهنگ انتقال انرژی توسط آن نیرو. اگر مقدار انرژی ΔE توسط یک نیرو در زمان Δt منتقل شود، توان متوسط عبارت است از:

(37-8)                                                                         

و توان لحظه ای عبارت است از:

(38-8)                                                                          

 

 

       

 

 

 

 شکل 8-1، هنگامی که جسم به طرف بالا پرتاب می شود نیروی گرانش روی آن کار منفی انجام می دهد. با حرکت جیسم رو به پایین کار انجام شده روی آن توسط نیروی گرانش مثبت خواهد بود.

 

 شکل 8-2،(a) یک ذره تحت تاثیر نیروی پایستار از دو مسیر متفاوت از نقطه ی a به نقطه ی b می رود. (b) ذره از مسیر 2 به نقطه ی اولیه باز می گردد.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 8-3، نیروی وارد شده به جسم از طرف فنر

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 8-6، کار مثبت W روی سیستم توپ-زمین ، باعث تغییر در انرژی مکانیکی سیستم می شود.