انرژی جنبشی و کار  

 

انرژی چیست

انرژی را گاهی به صورت ((قابلیت انجام کار)) تعریف می کنند. این تعریف منطقی است ولی محدودیت هایی دارد، چون در بسیاری از سیستم ها نمی توانیم انرژی ذخیره شده را به تمامی یا به آسانی به کار تبدیل کنیم. بنابراین قابلیت انجام کار چیزی نیست که اندازه گیری اش همیشه ممکن باشد. به هرحال انرژی مفهوم مفید و با اهمیتی است و اهمیت آن در این است که کمیتی پایسته است. یعنی انرژی ممکن است از شکلی به شکل دیگر تبدیل شود، ولی هرگز ایجاد و یا نابود نمی شود. که به آن اصل پایستگی انرژی می گویند.

انرژی جنبشی

هر جسمی که در حال حرکت باشد، صرفا به خاطر حرکتش، دارای انرژی جنبشی K است. هر چه جسم سریع تر باشد انرژی جنبشی آن بزرگتر و انرژی جنبشی اجسام ساکن برابر صفر است. انرژی جنبشی کمیتی اسکالر و اندازه ی آن برابر است با:

(1-7)                                                               

در سیستم SI یکای انرژی جنبشی و هر نوع دیگری از انرژی، ژول (J) است. بنابراین:

(2-7)                                                 

کار

تعریف کار W به طور کلی عبارت است از: ((انرژی منتقل شده به جسم یا از جسمی   به وسیله ی برآیند نیروهای عمل کننده روی جسم. هنگامی که انرژی به جسم منتقل می شود، کار مثبت است و هنگامی که انرژی از جسم منتقل می شود، کار منفی است)). انجام کار به معنی عمل انتقال انرژی است، و یکای کار همان یکای انرژی است.

کار و انرژی جنبشی

پیدا کردن یک رابطه برای کار

هنگامی که نیرویFx در راستای محور x به جسمی وارد می شود، طبق قانون دوم نیوتون داریم:

(3-7)                                                           

که در این جا m جرم جسم و  axو شتاب جسم در راستای محور xاست. هنگامی که جسم به اندازه ی d در راستای محور جابه جا می شود، نیرو، سرعت جسم را از v0 به v تغییر می دهد بنابراین می توانیم بنویسیم:

(4-7)                                                      

با جایگزین کردن ax از معادله ی (7-3)، داریم:

(5-7)                                                

قسمت اول معادله بیانگر انرژی جنبشی جسم در انتهای جابه جایی d و قسمت دوم معادله بیانگر انرژی جنبشی جسم در ابتدای جابه جایی  است. بنابراین طرف چپ تساوی بیانگر تغییر انرژی جنبشی جسم، بواسطه ی نیروی وارد شده به آن است. و طرف راست تساوی به ما می گوید که این تغییر برابر است با Fxd. بنابراین طبق تعریف کار، کار انجام شده روی جسم برابر است با:

(6-7)                                                            

هنگامی که نیروی وارد شده در راستای جابه جایی نباشد، داریم:

(7-7)                                                        

و چون طرف راست تساوی برابر با ضرب اسکالر بردار نیرو و بردار جابه جایی است، داریم:

(8-7)                                                            

هنگامی که نیروی وارد شده در خلاف جهت جابه جایی باشد کار نیروی وارد شده منفی خواهد بود. یکای کار در SI کیلوگرم-متر مربع بر مجذور ثانیه است که همان یکای انرژی است و ژول نامیده می شود:

(9-7)                                  

شکل 7-1، نیروهای وارد شده به مهره با انجام کار در طی مسافت d، باعث افزایش سرعت و بنابراین افزایش انرژی جنبشی آن می شود.

قضیه ی کار  انرژی جنبشی

در قسمت قبل ارتباط بین تغییر انرژی جنبشی جسم و کار انجام شده روی جسم را مشاهده کردیم. به طور کلی ما می توانیم بنویسیم:

(10-7)                                                       

که به ما می گوید:

(کار خالص انجام شده روی ذره) = (تغییر انرژی جنبشی جسم)

عبارت بالا در واقع بیانگر قضیه ی کار انرژی جنبشی است. با توجه به معادله ی بالا، همچنین می توانیم بنویسیم:

(11-7)                                                          

کار انجام شده توسط نیروی گرانشی

هنگامی که جسمی را با سرعت اولیه ی v0 به طرف بالا پرتاب می کنیم، سرعت جسم رفته رفته در اثر نیروی گرانشی Fg کم شده تا به صفر برسد. در این مدت، جسم به اندازه ی d از نقطه ی پرتاب بالا می رود. بنابراین با توجه به تعریف کار، کار انجام شده توسط نیروی گرانشی در این جابه جایی برابر است با:

(12-7)                                                      

و با توجه به شکل 7 -2، چون زاویه ی بین بردار جابه جایی و بردار نیرو 180 درجه است:

(13-7)                                    

بعد از اینکه جسم به بیشینه ارتفاع خود می رسد، به طرف پایین سقوط می کند. در این حالت زاویه ی بین بردار جابه جایی و بردار نیرو صفر درجه است بنابراین:

(14-7)                                     

 

 

کار انجام شده توسط نیروی فنر

نیروی فنر

مطابق شکل 7-3 هنگامی که فنری( ایده آل)از حالت عادی خود خارج می شود، نیروی F را که با جابه جایی فنر نسبت به حالت عادی آن متناسب است، طبق قانون هوک به صورت زیر تعریف می کنیم:

(15-7)                                                        

در این معادله ثابت فنر (سختی فنر) است. یکای آن در SI نیوتون بر متر است و مقدار آن به جنس و شکل فنر بستگی دارد. اگر جابه جایی در راستای محور x انجام شود، می توانیم بنویسیم:

(16-7)                                                         

کار انجام شده توسط نیروی فنر

برای بررسی کار انجام شده توسط نیروی فنر، به منظور ساده سازی، فرض می کنیم: 1- فنر بدون جرم است. 2- فنر ایده آل است (از قانون هوک پیروی می کند). برای این مورد، کار انجام شده را نمی توان با استفاده از معادله ی W=FdcosΦمحاسبه کرد، چون نیروی فنر ثابت نیست و به تغییر طول فنر بستگی دارد.

اگر مکان اولیه ی جسم  xi و مکان پایانی آن xf باشد و فاصله بین این دو مکان را به تعداد زیادی قسمت با طول Δx تقسیم کنیم و فرض کنیم که نیروی فنر در هر قسمت Δx ثابت باشد، کار خالص انجام شده توسط نیروی فنر برابر با جمع همه ی کارهای انجام شده در هر قسمت Δx است:

(17-7)                                                     

که در آنFxj نیروی فنر در قسمتj ام است. هنگامی که Δx به سمت صفر میل کند، داریم:

(18-7)                                                     

با قرار دادن مقدار Fx و انتگرال گیری خواهیم داشت:

(19-7)                 

بنابراین کار انجام شده توسط نیروی فنر برابر است با:

(20-7)                                                      

اگر xi برابر صفر باشد و ما قرار دهیم x= x خواهیم داشت:

(21-7)                                                           

کار انجام شده توسط نیروی متغیر

حالت یک بعدی

هنگامی که نیرو در راستای محور x به جسم وارد شود و مقدار آن نیز با مکان جسم x تغییر کند، مطابق شکل 7-4، اگر نمودار نیرو به صورت تابعی از مکان ترسیم شده باشد، منحنی را به تعداد زیادی قطعه ی کوچک تقسیم می کنیم. اگر نیرو یFj,avg در هر قطعه ثابت باشد، کار انجام شده در j امین قطعه برابر است با:

(22-7)                                                          

که تقریبا برابر با مساحت مستطیل هایی به ارتفاع Fj,avg و پهنای Δx .

کل کار انجام شده برابر است با حاصل جمع مساحت های تمامی این مستطیل ها:

(23-7)                                                 

و هنگامی کهΔ به سمت صفر میل کند داریم:

(24-7)                                                     

بنابراین می توانیم بنویسیم:

(25-7)                                                       

حالت سه بعدی

هنگامی که به ذره نیروی سه بعدی وارد می شود:

(26-7)                                                   

ذره تحت تاثیر این نیرو به صورت جزئی جابه جا می شود:

(27-7)                                               

کار جزئی انجام شده توسط این نیرو برابر است با:

(28-7)                                       

بنابراین، کل کار انجام شده در حرکت ذره از مکان اولیه ی ri به مکان نهایی rf برابر است با:

(29-7)                              

قضیه ی کار انرژی جنبشی با نیروی متغییر

هنگامی که ذره ای به جرم m تحت تاثیر نیروی خالص F(x) در راستای محور x از مکان اولیه ی xi به مکان نهایی xf حرکت می کند داریم:

(30-7)                                            

با توجه به تعریف شتاب داریم:

(31-7)                                                      

با استفاده از قاعده ی زنجیری می توانیم بنویسیم:

(32-7)                                                     

بنابراین:

(33-7)                                               

با قرار دادن این رابطه در انتگرال کار انجام شده برابر است با:

(34-7)                                  

که همان نتیجه قبل را می دهد، کار انجام شده برابر است با تغییر انرژی جنبشی ذره.

توان

توان عبارت است از آهنگ انجام کار، هنگامی که کار W در بازه ی زمانی Δt انجام می شود، توان متوسط برابر است با:

(35-7)                                                            

و توان لحظه ای برابر است با:

(36-7)                                                             

یکای توان در SI ژول بر ثانیه است که وات نامیده می شود:

(37-7)                                      

با توجه به معادله ی توان، ما می توانیم کار بر حسب حاصل ضرب توان در زمان بنویسیم، بر این اساس یکای رایج کیلو وات - ساعت برابر است با:

(38-7)          

هنگامی که نیروی F با زاویه ی Φ نسبت به محور x به ذره وارد می شود، می توانیم بنویسیم:

(38-7)                                      

که این معادله با استفاده از تعریف ضرب اسکالر تبدیل می شود به:

(39-7)                                                        

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 7-2، نیروی گرانش رو به پایین است، بنابراین هنگام پرتاب جسم به بالا کار انجام شده توسط نیروی گرانش روی جسم منفی استو باعث کاهش انرژی جنبشی آن می شود.

 

 

 

 

 

 

شکل 7-3، (a) فنر در حالت تعادل (b) با جابه جایی کردن جسم، فنر کشیده می شود و نیرویی در خلاف جهت جابه جایی به جسم وارد می کند. (c)فنر فشرده می شود، باز هم نیروی وارد شده از طرف فنر در خلاف جهت جابه جایی است.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 شکل 7-4، (a) نمودار کار برحسب مکان. (b) تقسیم مساحت زیر منحنی به قطعات کوچک مستطیل شکل. (c) با کوچک شدن مقدار تقسیمات حاصل جمع به انتگرال تبدیل می شود (d) مساحت زیر منحنی نیرو برابر است با کار انجام شده توسط نیرو.