حرکت در دو و سه بعد  

 

یک روش کلی برای تعیین مکان ذره در فضا استفاده از بردار مکان است. برداری که معمولا از یک نقطه ی مرجع (مبدا مختصات) به طرف مکان ذره کشیده می شود. در فضای سه بعدی، بردار مکان ذره ای با مختصات x ، y  و z را به صورت زیر نمایش می دهیم:

(1-4)                                                                          

 

 برای مثال بردار مکان ذره ی نشان داده شده در شکل 4-1 به شکل زیر داده می می شود:

(2-4)                                                                                                                         

حالا، اگر ذره ای از مکان r1 به مکان r2 برود جابه جایی آن عبارت است از:

(3-4)                                                                            

(4-4)                                                 

(5-4)                                                  

(6-4)                                                                       

 

سرعت متوسط و لحظه ای

در اینجا نیز مانند حالت یک بعدی، سرعت متوسط برابر است با نسبت جابه جایی به مدت سپری شده:

(7-4)                                                                               

 

با استفاده از معادله ی 4-6، خواهیم داشت:

(8-4)                                                  

و سرعت لحظه ای برابر است با مشتق مکان نسبت به زمان: 

(9-4)                                                                                 

(10-4)                                               

(11-4)                                                                    

که در آن:

(12-4)                                                    

 

شتاب متوسط و لحظه ای

زمانی که سرعت ذره  در بازه زمانی  Δtتغییر می کند، شتاب متوسط ذره در این بازه ی زمانی برابر است با:

(13-4)                                                                    

و شتاب لحظه ای برابر است با:

(14-4)                                                                               

با استفاده از معادله ی بدستن آمده برای سرعت (معادله ی 4-12) می توانیم بنویسیم:

(15-4)                                            

(16-4)                                                                      

که در آن:

(17-4)                                                   

 

حرکت پرتابه ها

هنگامی که پرتابه ای با سرعت اولیه v0 پرتاب می شود داریم :

(18-4)                                                                         

که در آن:

(19-4)                                                       

طی حرکت دو بعدی پرتابه، بردار مکان و بردار سرعت پرتابه به طور پیوسته تغییر می کند، اما شتاب حرکت ثابت می ماند (در غیاب مقاومت هوا). بنابراین جسمی که در نزدیکی سطح زمین پرتاب شده باشد به طور کلی دو حرکت مستقل از هم دارد: یکی حرکت افقی با سرعت ثابت (در غیاب مقاومت هوا) و دیگری حرکت شتاب دار در راستای قائم که ناشی از شتاب ثقل زمین است (شکل 4-5).

برای حرکت در راستای افقی داریم:

(20-4)                                                                          

(21-4)                                                                    

و برای حرکت در راستای قائم داریم:

(22-4)                                               

(23-4)                                                                      

(24-4)                                                           

معادله ی مسیر حرکت پرتابه

با حذف t بین معادلات حرکت در راستای افقی (4-21) و حرکت در راستای قائم (4-22)، معادله ی مسیر حرکت پرتابه بدست می آید:

(25-4)                                                            

برد پرتابه

برای پیدا کردن برد یا بیشترین مسافت افقی طی شده، ابتدا زمان پرواز را از معادله ی زیر بر حسب R تعیین می کنیم:

(26-4)                                                                        

هنگلامی که پرتابه به زمین برخورد می کند y در معادله ی 4-22 صفر می شود: 

(27-4)                                                                  

و در نهایت با قرار دادن t بدست آمده از معادله ی 4-26 در معادله ی 4-27 و حل آن برای R ، برد پرتابه بدست خواهد آمد:

(28-4)                                                                   

با استفاده از رابطه ی sin2θ0=2sinθ0cosθ0 خواهیم داشت:

(29-4)                                                                         

با توجه به معادله ی بالا نتیجه می گیریم که بیشینه برد، به ازای زاویه پرتاب 45 درجه حاصل می شود.

 

حرکت دایره ای یکنواخت

هنگامی که ذره ای با تندی ثابت در  یک مسیر دایره ای به شعاع r حرکت می کند، (شکل 4-6.) جهت بردار سرعت، پیوسته تغییر می کند که این تغییر جهت بردار سرعت باعث ایجاد شتاب می شود. ما می توانیم بردار سرعت را به صورت زیر بنویسیم:

(30-4)                                                  

با توجه به شکل 4-7 با جایگزین کردن مقادیر sinθ  با yp/r و cosθ با xp/r داریم:

(31-4)                                                                 

با مشتق گرفتن از معادله ی بالا نسبت به زمان(توجه داشته باشید که اندازه ی سرعت و شعاع مسیر حرکت ثابت است) داریم:

(32-4)                                                       

(33-4)                                                         

بزرگی این شتاب برابر با:

(34-4)                                   

و جهت آن همواره به سمت مرکز دایره است ( شتاب مرکزگرا).

همچنین ما دوره تناوب حرکت دایره ای یکنواخت را به صورت زیر تعریف می کنیم:

(35-4)                                                                              

 

 شکل 4-7، ذره ی P در جهت پادساعتگرد، حرکت دایره ای یکنواخت انجام می دهد. (a) بردار سرعت در یک لحظه ی مشخص. (b) مولفه های بردار سرعت. (c) مولفه های بردار شتاب.

 

چارچوب مرجع

مکان یا هر سرعت هر جسم فقط نسبت به اجسام دیگر معنی پیدا می کند. چارچوب مرجع نیز یک موجود فیزیکی است (مانند جاده، قطار، درخت و یا  خود کره ی زمین) که دستگاه مختصات به آن متصل شده است. 

حرکت نسبی

 طبق شکل 4-8، هنگامی که دو چارچوب مرجع  A و B نسبت به یکدیگر با سرعت ثابت vBA در حال حرکت باشند، مکان ذره P نسبت به چارچوب A را با rPA و نسبت به چارچوب B را با rPB نشان می دهیم:

(36-4)                                                                          

در این صورت سرعت ذره که ناظر واقع در چارچوب A اندازه می گیرد با سرعتی که ناظر واقع در چارچوب B اندازه می گیرد متفاوت است. این دو سرعت اندازه گیری شده به شکل زیر به هم مربوط اند:   

 (37-4)                                                                       

که از مشتق گیری از معادله ی 4-36 بدست آمده است. با مشتق گیری نسبت به زمان از معادله ی 4-37، خواهیم داشت:

(38-4)                                                              

چون چارچوب ها با سرعت ثابت نسبت به یکدیگر در حال حرکت هستند، جمله ی دوم سمت راست تساوی صفر خواهد شد بنابراین خواهیم داشت:

(39-4)                                                                             

"که به ما می گوید ناظر هایی که در چارچوب های مرجعی قرار دارند که با سرعت ثابت نسبت به یکدیگر حرکت می کنند برای ذرات متحرک شتاب یکسانی را اندازه می گیرند." 

 

    

 

 

 

 شکل4-1، بردار مکان برای یک ذره برابر است با جمع برداری مولفه های آن.

 

 

 

شکل4-2، بردار جابه جایی ذره که از مکان1 به مکان2 حرکت کرده است.

شکل4-3، مولفه های بردار سرعت ذره.

 

 

 شکل4-4، مولفه های بردار شتاب ذره .

 

 

 

 

 

 

 

شکل4-5، در حرکت پرتابی، مولفه ی افقی سرعت پرتابه ثابت می ماند، اما مولفه ی عمودی سرعت در مسیر حرکت تغییر می کند.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل4-6،بردارهای شتاب و سرعت در حرکت دایره ای یکنواخت برهم عمود اند.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


شکل4-8، چارچوب B با سرعت ثابت vAB نسبت به چارچوب B در حال حرکت است، مکان ذره ی P با بردارهای rPA و rPB نشان داده می شود.