حرکت در مسیر خط مستقیم   

 

مکان و جابه جایی

مکان یک ذره نسبت به مبدا دستگاه مختصات (نقطه ی صفر) سنجیده می شود. و برای حرکت یک بعدی روی یک محور (محور xها) نشان داده می شود. به عنوان مثال، اگر ذره ای در مکان x=5 m قرار داشته باشد، به این معنی است که این ذره پنج متر در جهت مثبت محور x ها از مبدا فاصله دارد.

هنگامی که ذره ای از x1 (مکان اولیه) به  x2 (مکان ثانویه) می رود، جابه جایی آن برابر است با:

(1-2)                                                                     

جابه جایی برداری است که فقط به مکان اولیه و مکان ثانویه بستگی دارد و به جزئیات حرکت و نوع مسیر وابسته نیست. اما مسافت طی شده کمیتی اسکالر مثبتی است.

تندی متوسط و سرعت متوسط

 تندی متوسط برابر است با نسبت مسافت طی شده به مدت زمانی که این مسافت طی می شود:

(2-2)                                                                 

تندی متوسط چون بر حسب مسافت طی شده بیان می شود، کمیتی اسکالر و مثبت است.

سرعت متوسط برابر است با نسبت جابه جایی به مدت زمانی که این جابه جایی صورت می گیرد:

(3-2)                                                            

در رابطه بالا ذره در زمان t2 در مکان t1 در مکان x1 و در زمان x2 قرار دارد.سرعت متوسط کمیتی برداری است که با بردار جابه جایی هم جهت است.

برای نمایش حرکت ذره اغلب از نمودار استفاده می شود. برای حرکتی که سرعت آن ثابت باشد نمودار x بر حسب t به صورت خط راست است و شیب این خط، همان اندازه ی سرعت ذره است، و اگر سرعت ثابت نباشد، نمودار حرکت به شکل منحنی است.

سرعت لحظه ای

سرعت لحظه ای برابر است با مقدار حدی سرعت متوسط وقتی که Δt به سمت صفر میل کند:

(4-2)                                                           

پس سرعت ذره در هر لحظه برابر است با شیب خط مماس بر منحنی مکان  زمان در آن لحظه.

به بیان دیگر سرعت لحظه ای برابر است با مشتق مکان نسبت به زمان، یعنی آهنگ تغییر x در t مورد نظر.

شتاب

شتاب به معنی آهنگ تغییر سرعت است. این تغییر ممکن است ناشی از تغییر اندازه سرعت، تغییر جهت سرعت و یا تغییر هر دو باشد. شتاب متوسط در یک بازه ی زمانی معین برابر است با:

(5-2)                                                       

شتاب متوسط کمیتی برداری است که در جهت بردار تغییر سرعت است. در نمودار سرعت بر حسب زمان، شتاب متوسط در مدت Δt برابر است با شیب خطی که نقاط ابتدا و انتها را به هم وصل می کند.

شتاب لحظه ای نیز برابر است با مشتق سرعت نسبت به زمان:

(6-2)                                                        

با ترکیب معادلات سرعت لحظه ای و شتاب لحظه ای داریم:

(7-2)                                                 

توجه داشته باشید که منفی بودن علامت شتاب الزاما به معنی کاهش سرعت نیست. به طور کلی اگر سرعت و شتاب هم علامت باشند حرکت تند شوند و در غیر این صورت حرکت کند شونده است.

حرکت با شتاب ثابت

هنگامی که شتاب ثابت باشد مقدار متوسط آن با مقدار لحظه ای اش برابر است، بنابر این:

(8-2)                                                            

(9-2)                                                              

و برای سرعت متوسط داریم:

(10-2)                                                           

از طرف دیگر سرعت متوسط در مورد حرکت با شتاب ثابت برابر است با:

(11-2)                                                       

بنابراین با ترکیب معادلات بالا معادلات زیر برای حرکت با شتاب ثابت بدست می آید:

(12-2)                                                        

(13-2)                                                      

(14-2)                                                    

سقوط آزاد

سقوط آزاد حرکتی است که صرفا تحت تاثیر گرانی یا ثقل انجام می شود. در غیاب مقاومت هوا همه ی اجسام به هر شکل و اندازه ای با شتاب یکسانی سقوط می کنند.

مقدار شتاب گرانی به عرض جغرافیایی و ارتفاع بستگی دارد. در نزدیکی سطح زمین این مقدار تقریبا برابر با a =-g =- 9.8m/s2  است. اما در حضور مقاومت هوا این شتاب ثابت نیست و به تدریج کم می شود و حتی ممکن است به صفر برسد.

استفاده از انتگرال و مساحت

در بخش های قبل دیدیم که چگونه می توان سرعت را از نمودار مکان- زمان و شتاب را از نمودار سرعت- زمان تعیین کرد. در این بخش ما با استفاده از  انتگرال و مساحت زیر نمودارها به محاسبه تغییر مکان و تغییر سرعت می پردازیم.

با توجه به رابطه بدست آمده برای شتاب، داریم:

 

(15-2)                                                      

و مقدار این انتگرال برابر است با مساحت سطح بین منحنی شتاب و محور زمان از t0 تا t1 .

(16-2)                                       

بنابراین تغییرات سرعت برابر است با مساحت سطح بین منحنی شتاب و محور زمان از t0 تا t1 .

مشابه آن برای تغییر مکان داریم:

(17-2)                                                      

و مقدار این انتگرال برابر است با مساحت سطح بین منحنی سرعت و محور زمان از t0 تا t1 .

(17-2)                                 

بنابراین تغییر مکان برابر است با مساحت سطح بین منحنی سرعت و محور زمان از t0 تا t1 .

 

  

 

 

 

شکل 2-1، مکان روی یک محور که با یکای طول درجه بندی شده است تعیین می شود. 

 

 

 

 

 

 

شکل 2-2، محاسبه ی سرعت متوسط از روی نمودار مکان- زمان، شیب خط قرمز برابر است با سرعت متوسط در بازه ی زمانی نشان داده شده.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 2-3، (a) مکان ذره ی متحرک با شتاب ثابت. (b) سرعت ذره ی متحرک با شتاب ثابت. (c) شتاب ذره ی متحرک.

 

 

 

 

شکل 2-4، یک سیب و یک پر در خلاء با شتاب یکسانی سقوط می کنند.

 

 


شکل 2-5، (a) مساحت بین منحنی شتاب و محور افقی (زمان) برابر است با تغییر سرعت. (b) مساحت بین منحنی سرعت و محور افقی (زمان) برابر است با تغییر مکان.